Esta questão trata de ondas estacionárias em cordas fixas nas duas extremidades. O problema envolve calcular a densidade linear do fio e relacionar a tensão (tração) com a frequência e o número de ventres (harmônicos).
Identificação dos Dados
Antes de resolver, vamos organizar as informações fornecidas no enunciado:
- Frequência da fonte (f): $60 \text{ Hz}$
- Comprimento do rolo de fio (L_{\text{rolo}}): $100 \text{ m}$
- Massa do rolo de fio (m_{\text{rolo}}): $400 \text{ g} = 0,4 \text{ kg}$
- Comprimento da corda vibrante entre A e B (L): $0,60 \text{ m}$
Análise Detalhada
a) Densidade linear do fio
A densidade linear (\mu) representa a quantidade de massa por unidade de comprimento. Ela é uma propriedade intrínseca do fio e não muda quando cortamos ou estendemos um pedaço dele.
\mu = \frac{m_{\text{rolo}}}{L_{\text{rolo}}}
Substituindo os valores:
\mu = \frac{0,4 \text{ kg}}{100 \text{ m}}
\mu = 0,004 \text{ kg/m}
Resposta (a): A densidade linear do fio é **$0,004 \text{ kg/m}** (ou $4 \text{ g/m}).
b) Tração no fio nessa configuração
Para determinar a tração (T), precisamos usar a relação entre velocidade de propagação da onda (v), tensão e densidade linear, além da condição de ressonância (onda estacionária).
- Relação geral da velocidade:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \Rightarrow T = \mu \cdot v^2 - Velocidade da onda sonora na corda:
v = \lambda \cdot f - Condição de onda estacionária:
Para uma corda fixa nas pontas, o comprimento L deve ser igual a um número inteiro (n) de meios comprimentos de onda (\lambda/2):
L = n \cdot \frac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2L}{n}
(Onde n é o número de ventres) - Juntando tudo:
Substituindo \lambda na equação da velocidade e depois na equação da tração:
v = \frac{2L}{n} \cdot f
T = \mu \cdot \left( \frac{2Lf}{n} \right)^2
Observação importante: Como a foto referenciada ("página 25") não está visível, não é possível contar o número exato de ventres (n) da configuração atual.
- Se a foto mostrar apenas um ventre (modo fundamental), então n=1.
- Se houver mais ventres, você deve substituir o valor correto de n na fórmula acima.
Fórmula Geral:
T = 0,004 \cdot \left( \frac{2 \cdot 0,60 \cdot 60}{n} \right)^2
T = 0,004 \cdot \left( \frac{72}{n} \right)^2
T = \frac{20,736}{n^2} \text{ Newtons}
c) Tração para configuração de quatro ventres
Agora temos um dado explícito: queremos que apareçam quatro ventres. Isso significa que n = 4.
Utilizando a fórmula derivada anteriormente:
T = \mu \cdot \left( \frac{2Lf}{n} \right)^2
Substituindo os valores:
- \mu = 0,004 \text{ kg/m}
- L = 0,60 \text{ m}
- f = 60 \text{ Hz}
- n = 4
T = 0,004 \cdot \left( \frac{2 \cdot 0,60 \cdot 60}{4} \right)^2
T = 0,004 \cdot \left( \frac{72}{4} \right)^2
T = 0,004 \cdot (18)^2
T = 0,004 \cdot 324
T = 1,296 \text{ N}
Resposta (c): A tração necessária é de aproximadamente $1,30 \text{ N}$.
Resumo Final
| Item | Resultado | Observação |
|---|
| a) Densidade Linear | $0,004 \text{ kg/m}$ | Calculada pela massa total e comprimento total do rolo. |
| b) Tração (Configuração Atual) | T = \frac{20,736}{n^2} | Depende do número de ventres (n) visíveis na foto original. |
| c) Tração (4 Ventres) | $1,296 \text{ N}$ | Calculado assumindo n=4. |