Alternativa: Afirmações II e III
Esta questão aborda o cálculo de fluxo de um campo vetorial utilizando o Teorema da Divergência de Gauss. O objetivo é avaliar quatro afirmações sobre o divergente do campo e os cálculos de fluxo em volumes cilíndricos específicos.
Análise das Afirmações
Vamos analisar cada item passo a passo para determinar sua veracidade.
1. Cálculo do Divergente (Afirmação I)
O divergente de um campo vetorial \mathbf{F} = (P, Q, R) é uma função escalar definida por:
\text{div } \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
Aplicando aos componentes dados:
- P = \frac{x^3}{3} + y^2 \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial x} = x^2
- Q = \frac{y^3}{3} + x \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial y} = y^2
- R = xy \Rightarrow \frac{\partial R}{\partial z} = 0
Somando as derivadas parciais:
\text{div } \mathbf{F} = x^2 + y^2 + 0 = x^2 + y^2
A afirmação I diz que o divergente é o vetor (x^2, y^2, 0). Isso está incorreto, pois o divergente resulta em um escalar (x^2 + y^2), não em um vetor.
2. Aplicação do Teorema da Divergência (Afirmação II)
O Teorema da Divergência relaciona o fluxo superficial com a integral tripla do divergente no volume V:
\phi = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\text{div } \mathbf{F}) \, dV
Substituindo o resultado calculado acima (\text{div } \mathbf{F} = x^2 + y^2):
\phi = \iiint_V (x^2 + y^2) \, dV
A afirmação II apresenta exatamente essa igualdade. Portanto, ela está correta.
3. Cálculo do Fluxo - Cilindro 1 (Afirmação III)
Volume: Cilindro de raio \rho = 2 e altura z \in [0, 10].
Utilizamos coordenadas cilíndricas onde x^2 + y^2 = \rho^2 e dV = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz.
\phi = \int_{0}^{10} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (\rho^2) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \, dz
\phi = \left( \int_{0}^{10} dz \right) \cdot \left( \int_{0}^{2\pi} d\theta \right) \cdot \left( \int_{0}^{2} \rho^3 \, d\rho \right)
Calculando cada parte:
- \int_{0}^{10} dz = 10
- \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi
- \int_{0}^{2} \rho^3 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^4}{4} \right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4
Resultado total:
\phi = 10 \cdot 2\pi \cdot 4 = 80\pi
A afirmação III afirma que o valor é $80\pi$. Logo, está correta.
4. Cálculo do Fluxo - Cilindro 2 (Afirmação IV)
Volume: Cilindro de raio \rho = 3 e altura z \in [0, 2].
Novamente, integramos \rho^3 nos limites do novo cilindro.
\phi = \left( \int_{0}^{2} dz \right) \cdot \left( \int_{0}^{2\pi} d\theta \right) \cdot \left( \int_{0}^{3} \rho^3 \, d\rho \right)
Calculando:
- \int_{0}^{2} dz = 2
- \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi
- \int_{0}^{3} \rho^3 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^4}{4} \right]_0^3 = \frac{81}{4}
Resultado total:
\phi = 2 \cdot 2\pi \cdot \frac{81}{4} = 4\pi \cdot \frac{81}{4} = 81\pi
A afirmação IV diz que o valor é $40\pi$. Como $81\pi \neq 40\pi$, esta afirmação está incorreta.
Conclusão
Com base na análise matemática detalhada:
- Afirmação I: Incorreta (conceito de divergente como escalar).
- Afirmação II: Correta.
- Afirmação III: Correta.
- Afirmação IV: Incorreta.
Portanto, as únicas afirmações verdadeiras são a II e a III.