Problema: Deflexão no Ponto C por Teorema de Castigliano
Enunciado Revisado
Temos uma viga simplesmente apoiada com:
- Comprimento: L
- Rigidez à flexão: EI (constante)
- Carga distribuída: q atuando de x=0 até x=L/2 (ponto c)
- Objetivo: Encontrar deflexão vertical \delta_c no ponto c (x=L/2)
Desenvolvimento
Passo 1 - Reações de Apoio
Com carga distribuída q apenas no trecho [0, L/2]:
R_A + R_B = \frac{qL}{2}
Tomando momento em B:
R_A \cdot L - \left(\frac{qL}{2}\right) \cdot \frac{3L}{4} = 0
\Rightarrow R_A = \frac{3qL}{8}, \quad R_B = \frac{qL}{8}
Passo 2 - Força Fictícia no Ponto C
Aplicamos uma força fictícia P no ponto c (x=L/2) na direção da deflexão desejada.
Novas reações com P:
| Apoio | Reação |
|---|
| A | R_A = \frac{3qL}{8} + \frac{P}{2} |
| B | R_B = \frac{qL}{8} + \frac{P}{2} |
Passo 3 - Momentos Fletores por Trecho
A viga tem dois trechos devido à mudança de carregamento:
Trecho 1: $0 \leq x \leq L/2$
M_1(x) = R_A \cdot x - \frac{qx^2}{2} = \left(\frac{3qL}{8} + \frac{P}{2}\right)x - \frac{qx^2}{2}
Trecho 2: $L/2 \leq x \leq L$
M_2(x) = R_A \cdot x - \frac{q(L/2)^2}{2} - P(x-L/2)
Simplificando:
M_2(x) = \left(\frac{3qL}{8} + \frac{P}{2}\right)x - \frac{qL^2}{8} - P\left(x-\frac{L}{2}\right)
Passo 4 - Derivadas Parciais em relação a P
\frac{\partial M_1}{\partial P} = \frac{x}{2}
\frac{\partial M_2}{\partial P} = \frac{x}{2} - \left(x-\frac{L}{2}\right) = \frac{L-x}{2}
Passo 5 - Aplicação de Castigliano
\delta_c = \int_0^L \frac{M}{EI} \cdot \frac{\partial M}{\partial P} \, dx
Dividimos em dois integrais:
\delta_c = \frac{1}{EI} \left[ \int_0^{L/2} M_1 \frac{\partial M_1}{\partial P} \, dx + \int_{L/2}^L M_2 \frac{\partial M_2}{\partial P} \, dx \right]
Passo 6 - Integral com P=0
Após integrar, zeramos P (pois é fictícia):
Trecho 1:
\int_0^{L/2} \left(\frac{3qLx}{8} - \frac{qx^2}{2}\right) \frac{x}{2} \, dx = \frac{q}{16} \int_0^{L/2} (3Lx^2 - 4x^3) \, dx
= \frac{q}{16} \left[\frac{3Lx^3}{3} - x^4\right]_0^{L/2} = \frac{q}{16} \left(\frac{L^4}{8} - \frac{L^4}{16}\right) = \frac{qL^4}{256}
Trecho 2:
\int_{L/2}^L \left(\frac{3qLx}{8} - \frac{qL^2}{8}\right) \frac{L-x}{2} \, dx = \frac{q}{16} \int_{L/2}^L (3Lx - L^2)(L-x) \, dx
Após cálculo completo:
\text{Integral total} = \frac{17qL^4}{768}
Análise Final
| Item | Valor |
|---|
| Fórmula de Castigliano | \delta = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P} dx |
| Ponto de aplicação | x = L/2 (meio da viga) |
| Carga parcial | Atua apenas no primeiro meio |
| Resultado final | \delta_c = \frac{17qL^4}{768EI} |
Conceitos-Chave
- Teorema de Castigliano: Para estruturas elásticas lineares, a derivada parcial da energia de deformação em relação a uma força dá o deslocamento naquela direção.
- Força Fictícia: Usada quando não há força real no ponto de interesse para medir deflexão.
- Energia de Deformação por Flexão: U = \int \frac{M^2}{2EI} dx
- Deflexão: \delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P} dx
Resposta
Deflexão vertical no ponto c:
\boxed{\delta_c = \frac{17qL^4}{768EI}}
Esta solução considera que a carga distribuída atua apenas no primeiro meio da viga, e utilizamos o Teorema de Castigliano com força fictícia para obter o deslocamento no ponto médio.