Um tanque cúbico de 0,6 m de lado, com óleo até a metade, é acelerado ao longo de um plano inclinado de 30° com a horizontal. Determinar a inclinação da superfície livre em relação ao plano inclinado.

Resolução do Exercício de Hidrostática Relativa

Resumo da Resposta
O ângulo de inclinação da superfície livre em relação ao plano inclinado é de aproximadamente 41°. Este resultado é confirmado pelo cálculo das componentes da aceleração resultante atuante sobre o fluido.

Análise Detalhada

1. Conceito Físico

Quando um recipiente com líquido sofre uma aceleração constante, a superfície livre do líquido não permanece horizontal. Ela se inclina até ficar perpendicular à resultante das forças aparentes (combinação da gravidade e da força de inércia).

No referencial do tanque, podemos considerar duas acelerações principais atuando sobre o fluido:

• Gravidade (g): Atua verticalmente para baixo.
• Inércia (-a): Atua na direção oposta à aceleração do tanque.

2. Decomposição Vetorial

Para facilitar o cálculo, analisamos as componentes das acelerações em relação ao plano inclinado (eixos x' e y'):

• Eixo x' (Paralelo ao plano):
• Componente da gravidade puxando o fluido para baixo do plano: g \sin(30^\circ).
• Força de inércia (oposta à aceleração do tanque): a.
• Ambas atuam no mesmo sentido relativo à inclinação da superfície, somando-se.
• Resultante paralela: R_x = g \sin(30^\circ) + a.
• Eixo y' (Perpendicular ao plano):
• Componente da gravidade pressionando o fundo: g \cos(30^\circ).
• Resultante perpendicular: R_y = g \cos(30^\circ).

3. Cálculo do Ângulo

A inclinação \theta da superfície livre em relação ao plano é dada pela tangente do ângulo formado pela resultante com a normal ao plano:

Substituindo os valores dados (g = 9,8 \, \text{m/s}^2, a = 2,45 \, \text{m/s}^2, \alpha = 30^\circ):

1. Numerador (R_x):
   9,8 \times 0,5 + 2,45 = 4,9 + 2,45 = 7,35 \, \text{m/s}^2
2. Denominador (R_y):
   9,8 \times \cos(30^\circ) \approx 9,8 \times 0,866 = 8,487 \, \text{m/s}^2
3. Tangente do Ângulo:
   \tan(\theta) = \frac{7,35}{8,487} \approx 0,866
4. Ângulo:
   \theta = \arctan(0,866) \approx 40,9^\circ

Arredondando para o número inteiro mais próximo, obtemos 41°.

Conclusão

A resposta apresentada na imagem ($\theta = 41^\circ$) está correta. Os demais dados fornecidos (lado do tanque, peso específico do óleo, nível do líquido) não interferem no cálculo do ângulo da superfície livre, sendo informações complementares ou distratores para este item específico.