Esta é uma questão de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre a estática de fluidos em movimento de corpo rígido (rotação em torno de um eixo vertical).
Resumo da Resposta
A solução envolve aplicar a equação de variação de pressão para fluidos em rotação. Considerando o ponto de referência na abertura ("aberto") onde a pressão é atmosférica ($100 \text{ kPa}$), calculamos as pressões nos pontos A, B e C somando os efeitos hidrostáticos (devido à altura) e centrífugos (devido à rotação).
Os valores finais indicados na imagem são:
- p_A = 120 \text{ kPa}
- p_B = 126 \text{ kPa}
- p_C = 106 \text{ kPa}
Análise Detalhada
1. Conceitos Fundamentais
Quando um fluido contido em um tanque gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante \omega, a pressão varia de acordo com a posição radial (r) e vertical (z). A equação geral para a diferença de pressão entre dois pontos é:
P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho \omega^2 (r_2^2 - r_1^2) + \rho g (z_1 - z_2)
Onde:
- \rho é a densidade do fluido ($1000 \text{ kg/m}^3$).
- \omega é a velocidade angular em rad/s.
- g é a aceleração da gravidade ($9,81 \text{ m/s}^2$).
- r é a distância radial ao eixo de rotação.
- z é a altura vertical.
2. Identificação das Coordenadas e Referências
Com base no diagrama e nas respostas fornecidas:
- Eixo de rotação: Linha vertical à direita.
- Ponto de Referência (Abertura): O tanque tem um orifício "aberto" na superfície superior. Isso significa que a pressão nesse ponto é igual à pressão atmosférica (P_{atm} = 100 \text{ kPa}).
- Geometria:
- Distância radial interna (ponto C): r_C = 1,5 \text{ m}.
- Largura do tanque: $0,6 \text{ m}. Logo, distância radial externa (pontos A e B): $r_A = r_B = 1,5 + 0,6 = 2,1 \text{ m}.
- Altura do tanque: h = 0,6 \text{ m}.
- Posição vertical: Vamos definir a parte superior como z = 0,6 e a inferior como z = 0. Ou mais simples, \Delta z = 0,6 \text{ m} entre A/B e C.
3. Cálculo Passo a Passo (Baseado na Resposta Fornecida)
Vamos verificar a consistência dos números dados na resposta ("Resp.") para entender a lógica usada.
Passo A: Determinar a pressão no ponto C (P_C)
O ponto C está localizado na borda interna (r = 1,5 \text{ m}). Se assumirmos que a abertura está no topo, também na mesma linha radial r=1,5 \text{ m} (ou próximo a ela), a pressão em C é apenas a pressão atmosférica mais a coluna de água de $0,6 \text{ m}$.
P_C = P_{atm} + \rho g h
P_C = 100 \text{ kPa} + (1000 \cdot 9,81 \cdot 0,6) \text{ Pa}
P_C = 100 \text{ kPa} + 5886 \text{ Pa} \approx 100 \text{ kPa} + 5,9 \text{ kPa} \approx \mathbf{106 \text{ kPa}}
Isto confere exatamente com a resposta do gabarito.
Passo B: Determinar a pressão no ponto A (P_A)
O ponto A está no topo, mas na borda externa (r = 2,1 \text{ m}). A diferença de pressão em relação ao ponto de referência (topo interno) é puramente devido à força centrífuga.
P_A - P_{ref} = \frac{1}{2} \rho \omega^2 (r_A^2 - r_{ref}^2)
Sabendo que P_A = 120 \text{ kPa} e P_{ref} = 100 \text{ kPa} (aproximadamente, considerando a pressão no topo interno):
\Delta P = 20 \text{ kPa} \quad (\text{na verdade } 120 - 100 = 20 \text{ kPa, mas } P_C=106 \implies P_{topo\_interno} \approx 100+?)
Na verdade, olhando os dados:
P_A = 120 \text{ kPa}.
P_C = 106 \text{ kPa}.
Diferença P_A - P_C = 14 \text{ kPa}.
Essa diferença de $14 \text{ kPa}$ deve ser causada pela rotação (termo centrífugo), já que A e C estão na mesma linha vertical se considerarmos a projeção, mas A está mais longe do eixo.
14.000 = \frac{1}{2} (1000) \omega^2 (2,1^2 - 1,5^2)
14.000 = 500 \cdot \omega^2 \cdot (4,41 - 2,25)
14.000 = 500 \cdot \omega^2 \cdot 2,16
\omega^2 \approx 12,96 \Rightarrow \omega \approx 3,6 \text{ rad/s}
Convertendo para rpm: n = \frac{3,6 \cdot 60}{2\pi} \approx \mathbf{34,4 \text{ rpm}}.
Passo C: Determinar a pressão no ponto B (P_B)
O ponto B está abaixo de A (\Delta z = 0,6 \text{ m}) e na mesma raio (r = 2,1 \text{ m}).
P_B = P_A + \rho g h
P_B = 120 \text{ kPa} + 5,9 \text{ kPa} \approx \mathbf{126 \text{ kPa}}
Isto confere perfeitamente com a resposta do gabarito.
Observação Importante sobre a Velocidade de Rotação
Existe uma inconsistência numérica no enunciado original da questão:
- O texto diz $n = 100 \text{ rpm}$.
- Os cálculos que levam à resposta fornecida ($120, 126, 106 \text{ kPa}$) exigem aproximadamente $35 \text{ rpm}$.
- Se usássemos $100 \text{ rpm}$ corretamente, a pressão centrífuga seria cerca de 6 vezes maior, gerando pressões muito superiores às indicadas na resposta (> 200 \text{ kPa}).
Portanto, a solução apresentada na imagem segue a lógica física correta, mas foi resolvida com um valor de rotação menor que o descrito no texto (provavelmente um erro de digitação no livro de origem).
Conclusão
As pressões solicitadas são obtidas aplicando a lei da estática dos fluidos rotativos.
- $P_C = 106 \text{ kPa}$: Devido à profundidade hidrostática.
- $P_A = 120 \text{ kPa}$: Pressão atmosférica + efeito centrífugo na borda externa.
- $P_B = 126 \text{ kPa}$: Pressão no topo externo + peso da coluna de água.
Resposta Final Conforme Gabarito:
- p_A = 120 \text{ kPa (abs)}
- p_B = 126 \text{ kPa (abs)}
- p_C = 106 \text{ kPa (abs)}