Resolução Detalhada
Este é um problema clássico de Cinemática Unidimensional, especificamente um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) sujeito à gravidade. O objetivo é determinar as grandezas cinemáticas (posição, velocidade e tempo) em diferentes momentos do trajeto da bola.
1. Análise dos Dados Iniciais
Para resolver o problema, precisamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos considerar:
- A direção para cima como positiva (+).
- A direção para baixo como negativa (-).
- O solo como origem das posições (y = 0).
Com base no enunciado e no diagrama, temos as seguintes condições iniciais:
- Posição inicial (y_0): $10 \, m$ (janela do prédio)
- Velocidade inicial (v_0): +20 \, m/s (direção para cima)
- Aceleração (a): -9,81 \, m/s^2 (gravidade atuando para baixo)
2. Determinação das Equações Gerais (Item a)
As equações fundamentais do MRUV são aplicadas diretamente aos dados acima.
Equação da Velocidade (v)
A velocidade varia linearmente com o tempo devido à aceleração constante.
v(t) = v_0 + a \cdot t
Substituindo os valores:
v(t) = 20 - 9,81t
Equação da Posição (y)
A posição varia quadraticamente com o tempo.
y(t) = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2
Substituindo os valores:
y(t) = 10 + 20t - \frac{9,81}{2}t^2
y(t) = 10 + 20t - 4,905t^2
3. Cálculo da Elevação Máxima (Item b)
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade instantânea da bola é nula antes de ela começar a descer.
Tempo para atingir a altura máxima (t_{max})
Igualamos a velocidade a zero na equação do item (a):
0 = 20 - 9,81t
9,81t = 20
t = \frac{20}{9,81} \approx 2,04 \, s
Elevação máxima (y_{max})
Substituímos o tempo encontrado na equação da posição do item (a):
y_{max} = 10 + 20(2,0387) - 4,905(2,0387)^2
y_{max} \approx 10 + 40,77 - 20,39
y_{max} \approx 30,38 \, m
(Nota: Utilizando a equação de Torricelli v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y, obtemos \Delta y \approx 20,39m, resultando em y_{max} = 10 + 20,39 = 30,39m. A diferença deve-se apenas ao arredondamento).
4. Instante de Impacto e Velocidade Final (Item c)
O impacto ocorre quando a bola atinge o solo, ou seja, quando sua posição y é igual a zero.
Tempo de queda (t_{final})
Igualamos a equação da posição a zero e resolvemos a equação quadrática:
0 = 10 + 20t - 4,905t^2
Rearranjando para a forma padrão at^2 + bt + c = 0:
4,905t^2 - 20t - 10 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara (t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}):
- \Delta = (-20)^2 - 4(4,905)(-10) = 400 + 196,2 = 596,2
- \sqrt{\Delta} \approx 24,42
Calculando as raízes:
t = \frac{20 \pm 24,42}{9,81}
Como o tempo não pode ser negativo:
t = \frac{44,42}{9,81} \approx 4,53 \, s
Velocidade no momento do impacto (v_{final})
Substituímos o tempo de impacto na equação da velocidade:
v = 20 - 9,81(4,53)
v \approx 20 - 44,44
v \approx -24,44 \, m/s
O sinal negativo indica que a bola está se movendo para baixo (sentido contrário ao eixo y positivo).
Resultados Finais
| Item | Grandeza Solicitada | Valor Calculado |
|---|
| (a) | Velocidade (v) | $20 - 9,81t$ |
| Posição (y) | $10 + 20t - 4,905t^2$ |
| (b) | Altura Máxima | \approx 30,39 \, m |
| Tempo para altura máxima | \approx 2,04 \, s |
| (c) | Tempo de impacto | \approx 4,53 \, s |
| Velocidade de impacto | \approx -24,44 \, m/s |