Uma coluna de alumínio de seção transversal retangular tem comprimento L e extremidade engastada A. A coluna suporta uma carga centrada em sua extremidade B. A extremidade A da coluna existem duas placas lisas de cantos arredondados que impedem essa extremidade de se movimentar em um dos planos verticais de simetria da coluna, mas não impedem movimentos na direção do outro plano. (a) Determinar a relação entre os lados da seção transversal que corresponde à solução de projeto mais eficiente contra a flambagem. (b) Dimensional a seção transversal mais eficiente para a coluna, sabendo-se que L=500 mm, E=70GPa, P=20 kN e que o coeficiente de segurança deve ser de 2,5.

Alternativa C - Relação a/b = 0,35 e dimensões b = 39,7 \text{ mm}; a = 13,9 \text{ mm}

Análise Detalhada

O problema trata da flambagem de uma coluna de seção retangular com condições de contorno diferentes para os dois eixos principais de flexão. Para encontrar o projeto "mais eficiente", devemos igualar a carga crítica de flambagem (P_{cr}) nos dois modos possíveis.

1. Condições de Contorno e Comprimento Efetivo (L_e)

A estabilidade depende das restrições nas extremidades:

• Extremidade B: Fixa (Engastada) em ambos os casos.
• Extremidade A (Plano 1 - Movimento impedido): As placas impedem o deslocamento lateral, mas permitem rotação (devido ao atrito ser nulo/liso). Isso equivale a um apoio Pivô.
• Coluna Engastada-Pivô \Rightarrow K \approx 0,7.
• L_{e1} = 0,7 L.
• Extremidade A (Plano 2 - Movimento livre): Não há restrição lateral.
• Coluna Engastada-Livre \Rightarrow K = 2,0.
• L_{e2} = 2,0 L.

2. Condição de Projeto Eficiente

Para otimizar o uso do material, a carga crítica deve ser a mesma para ambos os eixos:
P_{cr1} = P_{cr2}
Substituindo a fórmula de Euler (P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}):
\frac{\pi^2 E I_1}{L_{e1}^2} = \frac{\pi^2 E I_2}{L_{e2}^2} \Rightarrow \frac{I_1}{L_{e1}^2} = \frac{I_2}{L_{e2}^2}
Rearranjando para encontrar a relação entre as inércias:
\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{L_{e1}}{L_{e2}} \right)^2 = \left( \frac{0,7 L}{2,0 L} \right)^2 = \left( \frac{0,7}{2} \right)^2 = 0,1225

3. Relação Geométrica (a/b)

Para uma seção retangular de lados a e b:

• I_1 (menor inércia, associada ao eixo com menor L_e): I_1 = \frac{1}{12} b a^3 (assumindo a < b)
• I_2 (maior inércia, associada ao eixo com maior L_e): I_2 = \frac{1}{12} a b^3
• Substituindo na relação de inércias:
  \frac{\frac{1}{12} b a^3}{\frac{1}{12} a b^3} = 0,1225 \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = 0,1225
  \frac{a}{b} = \sqrt{0,1225} = 0,35
  Isso confirma que a razão a/b deve ser 0,35.

4. Dimensionamento das Dimensões

Calculamos a carga admissível considerando o fator de segurança (FS = 2,5):
P_{adm} = P \times FS = 20 \text{ kN} \times 2,5 = 50 \text{ kN} = 50.000 \text{ N}
Usamos a condição mais desfavorável (eixo com maior L_e = 2L = 1 \text{ m}) para garantir a segurança. Como P_{cr} é igual em ambos, podemos usar qualquer um. Vamos usar o eixo 1 (L_{e1} = 0,35 \text{ m}) para facilitar a verificação dos valores da alternativa C:
I_1 = \frac{P_{adm} L_{e1}^2}{\pi^2 E} = \frac{50.000 \times (0,35)^2}{\pi^2 \times 70 \times 10^9} \approx 8,87 \times 10^{-9} \text{ m}^4 = 8.870 \text{ mm}^4
Verificando a Alternativa C (b = 39,7 \text{ mm}, a = 13,9 \text{ mm}):
I_1 = \frac{1}{12} b a^3 = \frac{1}{12} \times 39,7 \times (13,9)^3 \approx 8.886 \text{ mm}^4
O valor calculado coincide com a necessidade do problema.

Conclusão

A alternativa que apresenta a relação geométrica correta (a/b = 0,35) e as dimensões que satisfazem a carga crítica de flambagem é a Alternativa C.