Uma fita elástico está presa aos pontos A e B, como mostra a Figura abaixo. Determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B.

Resumo
O comprimento da fita elástica é de aproximadamente 5,92 m, e sua direção é definida pelo vetor unitário \mathbf{u} \approx 0,17\mathbf{i} + 0,51\mathbf{j} + 0,85\mathbf{k} (ou pelos ângulos diretores $80,3^\circ, 59,5^\circ$ e $32,3^\circ$).

Análise Detalhada

Para encontrar o comprimento e a direção da fita, precisamos tratar o segmento de reta como um vetor espacial. Vamos decompor o problema em etapas lógicas.

1. Determinação das Coordenadas Espaciais

Primeiro, identificamos as coordenadas (x, y, z) dos pontos A e B baseados nas cotas indicadas na figura:

• Ponto A:
• x_A = 1 m (deslocamento ao longo do eixo x)
• y_A = 0 m (não há deslocamento ao longo do eixo y)
• z_A = -3 m (está abaixo do plano xy, logo o valor é negativo)
• Coordenadas: A = (1, 0, -3) m
• Ponto B:
• x_B = 2 m (deslocamento ao longo do eixo x)
• y_B = 3 m (deslocamento ao longo do eixo y)
• z_B = 2 m (está acima do plano xy)
• Coordenadas: B = (2, 3, 2) m

2. Cálculo do Vetor Posição (\vec{r}_{AB})

O vetor que representa a fita, indo de A para B, é calculado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B:

Substituindo os valores numéricos:
\vec{r}_{AB} = (2 - 1)\mathbf{i} + (3 - 0)\mathbf{j} + (2 - (-3))\mathbf{k}
\vec{r}_{AB} = 1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k} \text{ m}

Isso nos diz que, para ir de A até B, devemos avançar 1 metro em x, 3 metros em y e subir 5 metros em z.

3. Determinação do Comprimento (Módulo)

O comprimento físico da fita corresponde à magnitude (módulo) deste vetor. Utilizamos a fórmula da distância no espaço 3D:

Calculando o valor aproximado:
L \approx 5,92 \text{ m}

4. Determinação da Direção

A direção é expressa pelo vetor unitário (\mathbf{u}), que indica a orientação sem considerar o tamanho. Ele é obtido dividindo o vetor posição pelo seu módulo:

Os valores aproximados são:
\mathbf{u}_{AB} \approx 0,17\mathbf{i} + 0,51\mathbf{j} + 0,85\mathbf{k}

Alternativamente, podemos usar os ângulos diretores (\theta) formados com cada eixo positivo:

• \theta_x = \arccos(0,17) \approx 80,3^\circ
• \theta_y = \arccos(0,51) \approx 59,5^\circ
• \theta_z = \arccos(0,85) \approx 32,3^\circ

Conclusão

A solução confirma que a fita tem 5,92 m de extensão e aponta na direção vetorial (1, 3, 5).