A ilustração a seguir representa a posição de alguns elementos de um violão clássico. Considere que A distância entre a pestana e o cavalete de um violão é de 60 cm e que para esta distância, quando colocada para vibrar no modo fundamental, uma das cordas emite uma frequência de 200 Hz. Quando a mesma corda estiver pressionada a uma distância de 15 cm da pestana, a frequência de vibração, em hertz, do 3º harmônico será:

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos entender como a frequência de vibração de uma corda varia quando alteramos seu comprimento físico.

1. Conceitos Fundamentais
Em uma corda fixa nas extremidades (como num violão), a frequência (f) é inversamente proporcional ao comprimento (L) da parte vibrante, mantendo-se constante a velocidade da onda (v).
A fórmula geral para a frequência do $n$-ésimo harmônico é:
f_n = \frac{n \cdot v}{2L}

Onde:

• n é o número do harmônico (1 para fundamental, 2 para o 2º, etc.)
• v é a velocidade da onda na corda
• L é o comprimento da corda vibrante

2. Análise dos Dados

• Situação Inicial (Corda Solta):
• Comprimento (L_1): 60 cm
• Frequência Fundamental (n=1): 200 Hz
• Situação Final (Corda Pressionada):
• A corda é pressionada a 15 cm da pestana. Isso significa que apenas a parte restante vibra.
• Novo Comprimento (L_2): $60 \text{ cm} - 15 \text{ cm} = 45 \text{ cm}$
• Objetivo: Encontrar a frequência do 3º harmônico (n=3).

## Análise

Podemos resolver isso utilizando a relação de proporcionalidade entre frequência e comprimento, já que a velocidade da onda na corda permanece inalterada.

• Passo 1: Calcular a nova frequência fundamental (f'_1)
  Como a frequência é inversamente proporcional ao comprimento (f \propto \frac{1}{L}), temos:
  f_1 \cdot L_1 = f'_1 \cdot L_2
  200 \text{ Hz} \cdot 60 \text{ cm} = f'_1 \cdot 45 \text{ cm}
  12000 = f'_1 \cdot 45
  f'_1 = \frac{12000}{45} = \frac{800}{3} \text{ Hz} \quad (\approx 266,67 \text{ Hz})
• Passo 2: Calcular o 3º Harmônico
  A frequência de qualquer harmônico é um múltiplo inteiro da frequência fundamental. Para o 3º harmônico (n=3):
  f_3 = 3 \cdot f'_1
  f_3 = 3 \cdot \left( \frac{800}{3} \right)
  f_3 = 800 \text{ Hz}

Conclusão
Ao encurtar a corda para 45 cm, a frequência fundamental aumenta. Multiplicando esse novo valor fundamental por 3 (pois se pede o 3º harmônico), chegamos exatamente a 800 Hz.

Portanto, a alternativa correta é a D.