A transformada de Fourier de qualquer sinal x(t) é X(ω). Qual será a transformada de Fourier correspondente? Se for necessário use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela 4.1 da página 190 do livro texto.

Alternativa B - Y(j\omega) = 2X(j\omega)\cos\omega

Esta questão aborda as propriedades da Transformada de Fourier, especificamente a combinação de reversão temporal e deslocamento.

Análise Detalhada

Para resolver, devemos aplicar as propriedades da transformada passo a passo aos termos da função y(t).

1. Propriedade da Reversão Temporal:
   Se x(t) \leftrightarrow X(j\omega), então:
   x(-t) \leftrightarrow X(-j\omega)
   Isso significa que inverter o tempo no domínio do tempo inverte o eixo de frequência.
2. Propriedade do Deslocamento no Tempo:
   Se deslocarmos o sinal por t_0:
   x(t - t_0) \leftrightarrow X(j\omega)e^{-j\omega t_0}
3. Aplicação ao Sinal $y(t)$:
   O enunciado apresenta y(t) = x(1-t) + \dots (assumindo simetria no segundo termo conforme as opções).

• Para o termo x(1-t), podemos reescrever como x(-(t-1)).
• Primeiro, invertemos o tempo: x(-t) \rightarrow X(-j\omega).
• Depois, deslocamos para a direita em +1: Multiplicamos por e^{-j\omega(1)}.
• Resultado parcial: X(-j\omega)e^{-j\omega}.
• Para o segundo termo (simétrico, ex: x(-1-t) ou x(-(t+1))):
• Invertemos o tempo: x(-t) \rightarrow X(-j\omega).
• Deslocamos para a esquerda em -1: Multiplicamos por e^{-j\omega(-1)} = e^{j\omega}.
• Resultado parcial: X(-j\omega)e^{j\omega}.

1. Simplificação Matemática:
   Somando os resultados:
   Y(j\omega) = X(-j\omega)e^{-j\omega} + X(-j\omega)e^{j\omega}
   Y(j\omega) = X(-j\omega)(e^{j\omega} + e^{-j\omega})

Utilizando a Identidade de Euler para o cosseno:
\cos(\omega) = \frac{e^{j\omega} + e^{-j\omega}}{2} \Rightarrow e^{j\omega} + e^{-j\omega} = 2\cos(\omega)

Substituindo:
Y(j\omega) = 2X(-j\omega)\cos(\omega)

Conclusão

Embora haja uma discrepância técnica na alternativa (ela usa X(j\omega) em vez de X(-j\omega), o que só seria válido se X fosse par), a Alternativa B é a única correta porque:

• Apresenta a forma trigonométrica correta ($2\cos\omega$).
• As outras alternativas (A, C, E) contêm o termo e^{\pm j\omega t}, o que é dimensionalmente incorreto (variável t não pode aparecer no domínio da frequência \omega).
• A alternativa D está incompleta (falta o fator 2).

Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.