Dado o sinal periódico de tempo contínuo: x(t) = 2 + cos(2π/3 t) + 4sen(5π/3 t) Com coeficientes ak: x(t) = ∑ ak e^(jkω₀t) Determine os coeficientes ak de Fourier.

Resolução da Questão

Os coeficientes de Fourier a_k para o sinal fornecido são determinados através da identificação da frequência fundamental e da aplicação da relação de Euler.

Resumo da Resposta

Os coeficientes não nulos da série de Fourier exponencial são:

• a_0 = 2
• a_2 = a_{-2} = 0.5
• a_5 = -2j
• a_{-5} = 2j

Desenvolvimento Didático

1. Identificação da Frequência Fundamental (\omega_0)

O sinal é composto por três termos com diferentes frequências angulares:

• Termo constante: frequência $0$.
• Cosseno: \omega_1 = \frac{2\pi}{3}.
• Seno: \omega_2 = \frac{5\pi}{3}.

Para expressar tudo na forma \sum a_k e^{jk\omega_0 t}, precisamos encontrar a maior frequência que divide uniformemente todas as outras (MDC das frequências).
\omega_0 = \text{MDC}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}

Isso nos permite reescrever as frequências originais em função de k\omega_0:

• \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \Rightarrow k = 2
• \frac{5\pi}{3} = 5 \cdot \frac{\pi}{3} \Rightarrow k = 5

2. Conversão para Exponenciais Complexas

Utilizamos as identidades de Euler para transformar senos e cossenos em exponenciais:

• \cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}
• \sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}

Substituindo no sinal x(t):
x(t) = 2 + \frac{e^{j\frac{2\pi}{3}t} + e^{-j\frac{2\pi}{3}t}}{2} + 4 \cdot \frac{e^{j\frac{5\pi}{3}t} - e^{-j\frac{5\pi}{3}t}}{2j}

3. Agrupamento dos Termos

Agrupamos os termos pela frequência k\omega_0:

• Termo DC (k=0): O valor constante é $2$. Logo, a_0 = 2.
• Termos de Cosseno (k=\pm 2):
  \frac{1}{2}e^{j2\omega_0 t} + \frac{1}{2}e^{-j2\omega_0 t}
  Portanto, a_2 = 0.5 e a_{-2} = 0.5.
• Termos de Seno (k=\pm 5):
  \frac{4}{2j}e^{j5\omega_0 t} - \frac{4}{2j}e^{-j5\omega_0 t} = -2j e^{j5\omega_0 t} + 2j e^{-j5\omega_0 t}
  (Lembre-se que \frac{1}{j} = -j).
  Portanto, a_5 = -2j e a_{-5} = 2j.

Conclusão

Todos os outros coeficientes a_k para k \neq \{0, \pm 2, \pm 5\} são iguais a zero. A representação final é: