Na Figura abaixo, o sinal g₂(t) = g(-t). Expresse os sinais g₂(t), g₃(t), g₄(t) e g₅(t) em termos dos sinais g₁(t), g₂(t) e de suas versões nas quais o eixo do tempo é deslocado, dilatado e invertido.

Análise das Transformações de Sinais

A questão apresenta um conjunto de sinais derivados de uma função base g(t) através de operações de transformação no domínio do tempo. O objetivo é identificar como os sinais g_2(t), g_3(t), g_4(t) e g_5(t) são construídos a partir de g(t) e sua versão invertida g_1(t).

1. Definição do Sinal Base

O sinal fundamental é g(t), definido no intervalo [-1, 0]:
g(t) = \begin{cases} -t & \text{para } -1 \le t \le 0 \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}
Ele descreve uma rampa decrescente que vai de 1 até 0. O sinal g_1(t) é definido como g(-t), que é uma inversão temporal, criando uma rampa crescente no intervalo [0, 1].

2. Construção dos Sinais Derivados

Cada sinal subsequente combina translações (deslocamentos), dilatações (escalas) e somas dessas funções básicas.

Sinal g_2(t)

Este sinal possui formato de "V" sobre o intervalo [0, 2], com mínimo em t=1.

• O lado esquerdo ($0 \le t \le 1$) corresponde à rampa decrescente de g(t) deslocada para a direita em 1 unidade: g(t-1).
• O lado direito ($1 \le t \le 2$) corresponde à rampa crescente de g_1(t) deslocada para a direita em 1 unidade: g_1(t-1).
• Expressão: g_2(t) = g(t-1) + g_1(t-1)

Sinal g_3(t)

Este sinal é um triângulo simétrico sobre o intervalo [-1, 1], com pico em t=0.

• A parte esquerda (-1 \le t \le 0) é a rampa crescente de g_1(t) deslocada para a esquerda em 1 unidade: g_1(t+1).
• A parte direita ($0 \le t \le 1$) é a rampa decrescente de g(t) deslocada para a direita em 1 unidade: g(t-1).
• Expressão: g_3(t) = g_1(t+1) + g(t-1)

Sinal g_5(t)

Este sinal é uma rampa decrescente esticada e deslocada, definida no intervalo [0, 2].

• Dilatação: A largura original é 1 ([-1, 0]). Para cobrir [0, 2], precisamos dobrar a escala do tempo (t \to t/2).
• Deslocamento: O intervalo deve ir de [-2, 0] para [0, 2], exigindo um deslocamento de +2 unidades.
• Amplitude: O valor inicial sobe de 1 para 1,5, exigindo multiplicação por 1,5.
• Expressão: g_5(t) = 1.5 \cdot g\left(\frac{t-2}{2}\right)

Conclusão

A resolução deste tipo de problema exige a identificação visual das características do sinal base (intervalo, inclinação, valor inicial/final) e a aplicação sistemática das propriedades de transformação de sinais:

• Inversão Temporal: g(-t)
• Deslocamento: g(t-T) (direita se T>0)
• Dilatação/Compressão: g(at) (compressão se a>1, dilatação se $0<a<1$)

As expressões construídas demonstram como sinais complexos podem ser decompostos em versões simples da função original manipuladas no tempo.