Alternativa D
Este é um problema clássico de Óptica Geométrica, envolvendo as propriedades de formação de imagem em espelhos esféricos.
Para resolver, precisamos utilizar duas fórmulas principais: o Aumento Linear Transversal e a Equação de Gauss.
Dados do Problema
Primeiro, vamos organizar as informações fornecidas e padronizar as unidades de medida (tudo em centímetros):
- Tipo de espelho: Convexo (distância focal negativa).
- Distância Focal (f): -82 cm.
- Altura do Objeto (H): $1,64$ m = $164$ cm.
- Altura da Imagem (h): $2$ cm.
- Incógnita: Distância da imagem ao espelho (p').
Desenvolvimento
1. Cálculo do Aumento Linear (A)
O aumento linear relaciona a altura da imagem com a altura do objeto:
A = \frac{h}{H}
Substituindo os valores:
A = \frac{2}{164} = \frac{1}{82}
Como o espelho é convexo, a imagem é sempre direita, logo o aumento é positivo (A > 0), o que confirma nosso cálculo.
2. Relação entre distâncias (p e p')
O aumento também relaciona a distância do objeto (p) e a distância da imagem (p'):
A = -\frac{p'}{p}
Isolando p:
\frac{1}{82} = -\frac{p'}{p} \Rightarrow p = -82p'
3. Aplicação da Equação de Gauss
A equação fundamental dos espelhos é:
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}
Substituímos f e p pelos valores encontrados:
\frac{1}{-82} = \frac{1}{-82p'} + \frac{1}{p'}
Vamos resolver essa equação para encontrar p':
\frac{-1}{82} = \frac{-1}{82p'} + \frac{82}{82p'}
\frac{-1}{82} = \frac{-1 + 82}{82p'}
\frac{-1}{82} = \frac{81}{82p'}
Cancelando os denominadores $82$ e resolvendo para p':
-1 = \frac{81}{p'}
p' = -81 \text{ cm}
Conclusão
O valor negativo de p' indica que a imagem é virtual (formada atrás do espelho), o que é esperado para espelhos convexos. A questão solicita o módulo da distância da imagem ao espelho.
|p'| = |-81| = 81 \text{ cm}
Portanto, a alternativa correta é a D.