Alternativa A - $1,12 \cdot 10^{-10} \text{ m}$
Introdução
Esta questão aborda a Dualidade Onda-Partícula, um pilar da Mecânica Quântica proposta por Louis de Broglie. O objetivo é determinar o comprimento de onda associado a uma partícula material (um elétron) que possui uma certa energia cinética.
Para resolver, utilizamos a relação fundamental entre o momento linear da partícula e seu comprimento de onda associativo.
Desenvolvimento
1. Fórmula de De Broglie
O comprimento de onda (\lambda) é dado pela razão entre a constante de Planck (h) e o momento linear (p) da partícula:
\lambda = \frac{h}{p}
2. Relação com a Energia Cinética
Como temos a energia cinética (E_c) e não o momento direto, usamos a relação clássica (válida para energias não-relativísticas, como 150 eV):
E_c = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2mE_c}
Substituindo na fórmula de De Broglie:
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}
3. Conversão de Unidades
É crucial converter tudo para o Sistema Internacional (SI):
- Constante de Planck (h): $6,62 \cdot 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
- Massa do elétron (m): $9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$
- Energia Cinética (E_c): $150 \text{ eV}$ (conforme leitura da imagem).
- Sabemos que $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.
- E_c = 150 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 2,4 \cdot 10^{-17} \text{ J}.
4. Cálculo
Substituindo os valores:
\lambda = \frac{6,62 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (2,4 \cdot 10^{-17})}}
Calculando o denominador (momento):
\sqrt{43,7 \cdot 10^{-48}} \approx 6,61 \cdot 10^{-24} \text{ kg}\cdot\text{m/s}
Calculando \lambda:
\lambda \approx \frac{6,62 \cdot 10^{-34}}{6,61 \cdot 10^{-24}} \approx 1,00 \cdot 10^{-10} \text{ m}
Analise
Observamos que o cálculo rigoroso para $150 \text{ eV}$ resulta em aproximadamente $1,00 \cdot 10^{-10} \text{ m}$. Contudo, analisando as alternativas:
| Alternativa | Valor (\text{m}) | Energia Estimada (E_c) |
|---|
| A | $1,12 \cdot 10^{-10}$ | \approx 120 \text{ eV} |
| B | $3,24 \cdot 10^{-10}$ | \approx 16 \text{ eV} |
| C | $5,38 \cdot 10^{-10}$ | \approx 6 \text{ eV} |
| D | $7,48 \cdot 10^{-10}$ | \approx 3 \text{ eV} |
- Ordem de Grandeza: Elétrons acelerados por tensões da ordem de centenas de volts possuem comprimentos de onda na escala de Angstrons ($10^{-10} \text{ m}$).
- Eliminação: As alternativas B, C e D exigiriam energias extremamente baixas (menos de 20 eV), o que é incomum para problemas típicos de difração de elétrons sem menção específica.
- Conclusão: A alternativa A é a única que apresenta a ordem de grandeza correta ($10^{-10} \text{ m}). É muito provável que haja uma pequena divergência nos dados da imagem (o valor pode ter sido originalmente $120 \text{ eV} ou houve um arredondamento específico nas constantes), mas A é a resposta fisicamente coerente.
Alternativa A.