Suponha um sinal y(t)=x(t)+x(t-1), calcule a taxa de Nyquist (ômega zero) deste sinal:

Resposta

Alternativa D - $2\omega_0$

Justificativa Didática

Para resolver esta questão, precisamos entender dois conceitos fundamentais do Processamento de Sinais: a definição de Taxa de Nyquist e como operações lineares afetam a largura de banda de um sinal.

1. Conceito de Taxa de Nyquist

A Taxa de Nyquist (ou frequência de Nyquist) é a menor frequência de amostragem necessária para reconstruir perfeitamente um sinal analógico a partir de suas amostras, segundo o Teorema de Nyquist-Shannon. Ela é definida como o dobro da frequência máxima (\omega_{max}) presente no sinal.

2. Análise do Sinal y(t)

O enunciado apresenta o sinal:
y(t) = x(t) + x(t-1)

Este sinal é formado pela soma do sinal original x(t) com uma versão dele mesmo atrasada no tempo em 1 unidade (x(t-1)).

• Propriedade Linear: A soma de sinais não cria novas frequências acima daquela já existente no sinal mais complexo.
• Invariância de Frequência: Um atraso no tempo (como t-1) altera a fase do sinal no domínio da frequência, mas não altera o conteúdo espectral (as frequências presentes).

Portanto, a frequência máxima de y(t) é exatamente a mesma da frequência máxima de x(t).

3. Dedução da Resposta

Embora o enunciado não defina explicitamente x(t) nas linhas visíveis, a presença de \omega_0 em todas as alternativas indica que a frequência máxima do sinal base é \omega_0.

Assim:

• Frequência máxima do sinal: \omega_{max} = \omega_0
• Taxa de Nyquist requerida: \omega_{Nyquist} = 2 \cdot \omega_0

Isso nos leva diretamente à alternativa D.

Conclusão: A taxa de Nyquist para este sinal é $2\omega_0$.