Alternativa D
A questão solicita o cálculo da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) para uma sequência específica definida por impulsos unitários.
Para resolver, utilizamos a propriedade fundamental da função impulso discreto \delta[n-k], que atua como um "peneira", selecionando apenas o valor da função onde o índice coincide com o deslocamento do impulso.
Análise Detalhada
O problema fornece a fórmula geral da transformada:
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}
A função dada é:
x[n] = \delta[n - 1] + \delta[n + 1]
Substituindo x[n] na equação de análise, temos:
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (\delta[n - 1] + \delta[n + 1])e^{-j\omega n}
Podemos separar a soma em dois termos distintos:
- Primeiro termo: \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n - 1]e^{-j\omega n}
- O termo \delta[n - 1] é diferente de zero apenas quando n = 1.
- Substituímos n = 1 na exponencial: e^{-j\omega(1)} = e^{-j\omega}.
- Segundo termo: \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n + 1]e^{-j\omega n}
- O termo \delta[n + 1] é diferente de zero apenas quando n = -1.
- Substituímos n = -1 na exponencial: e^{-j\omega(-1)} = e^{j\omega}.
Somando os resultados obtidos:
X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega} + e^{j\omega}
Reorganizando a ordem dos termos para facilitar a comparação com as alternativas:
X(j\omega) = e^{j\omega} + e^{-j\omega}
Isso corresponde exatamente à Alternativa D.
Resumo das Alternativas Analisadas
| Alternativa | Expressão | Correta? | Motivo |
|---|
| A | e^{2j\omega} | Não | Indica apenas um atraso positivo de 2 unidades. |
| B | e^{-2j\omega} | Não | Indica apenas um adiantamento de 2 unidades. |
| C | $2 \text{ sen } \omega$ | Não | Relacionado à parte imaginária, não ao caso real deste impulso simétrico. |
| D | $e^{j\omega} + e^{-j\omega}$ | Sim | Corresponde à soma dos dois impulsos deslocados. |
| E | e^{-2j\omega} - e^{2j\omega} | Não | Sinal incorreto e expoentes errados. |
Portanto, a resposta correta é a Alternativa D.