Conjunto de questões sobre Resistência dos Materiais, envolvendo cálculo de deformação elástica e módulo de elasticidade.

Esta imagem contém três problemas relacionados à Resistência dos Materiais, especificamente sobre Deformação Elástica e o Módulo de Elasticidade (Lei de Hooke). Abaixo, apresento a resolução detalhada para cada item (6.3, 6.4 e 6.5).

Fundamentação Teórica

Para resolver estes exercícios, utilizamos a relação fundamental entre tensão (\sigma), deformação (\epsilon) e o Módulo de Elasticidade (E):

Onde:

• A tensão é definida por \sigma = \frac{F}{A_0} (Força dividida pela Área original).
• A deformação é definida por \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} (Alongamento dividido pelo Comprimento original).

Combinando as fórmulas, obtemos a equação para alongamento:
\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot E}

Resolução da Questão 6.3

Neste problema, calculamos a deformação (strain) de um corpo de prova de cobre sob tração.

Dados fornecidos:

• Material: Cobre (Módulo de Elasticidade E \approx 117 \text{ GPa})
• Dimensões da seção: $15.2 \text{ mm} \times 19.1 \text{ mm}$
• Força (F): $44,500 \text{ N}$

Passo a passo:

1. Calcular a Área Transversal (A_0):
   A_0 = 15.2 \text{ mm} \times 19.1 \text{ mm} = 290.32 \text{ mm}^2
2. Calcular a Tensão (\sigma):
   \sigma = \frac{44,500 \text{ N}}{290.32 \text{ mm}^2} \approx 153.28 \text{ MPa}
3. Calcular a Deformação (\epsilon):
   Convertendo E para MPa ($117 \text{ GPa} = 117,000 \text{ MPa}$):
   \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{153.28}{117,000} \approx 0.00131

Resultado: A deformação resultante é aproximadamente 0.00131 (adimensional).

Resolução da Questão 6.4

Aqui, determinamos o comprimento original máximo permitido para uma liga de níquel, dado um limite de alongamento.

Dados fornecidos:

• Módulo de Elasticidade (E): $207 \text{ GPa} = 207,000 \text{ MPa}$
• Diâmetro original (d_0): $10.2 \text{ mm}$
• Força (F): $8,900 \text{ N}$
• Alongamento máximo (\Delta L): $0.25 \text{ mm}$

Passo a passo:

1. Calcular a Área (A_0):
   A_0 = \pi \left( \frac{d_0}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{10.2}{2} \right)^2 \approx 81.71 \text{ mm}^2
2. Isolar o Comprimento Original (L_0) na fórmula de alongamento:
   L_0 = \frac{\Delta L \cdot A_0 \cdot E}{F}
3. Substituir os valores:
   L_0 = \frac{0.25 \cdot 81.71 \cdot 207,000}{8,900}
   L_0 = \frac{4,228,027.5}{8,900} \approx 475.06 \text{ mm}

Resultado: O comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação deve ser de aproximadamente 475 mm.

Resolução da Questão 6.5

Este exercício pede o cálculo do Módulo de Elasticidade (E) do alumínio com base nos dados de carga e alongamento.

Dados fornecidos:

• Comprimento original (L_0): $125 \text{ mm}$
• Seção quadrada: $16.5 \text{ mm} \times 16.5 \text{ mm}$
• Força (F): $66,700 \text{ N}$
• Alongamento (\Delta L): $0.43 \text{ mm}$

Passo a passo:

1. Calcular a Área (A_0):
   A_0 = 16.5 \text{ mm} \times 16.5 \text{ mm} = 272.25 \text{ mm}^2
2. Aplicar a fórmula rearranjada para E:
   E = \frac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot \Delta L}
3. Substituir os valores:
   E = \frac{66,700 \cdot 125}{272.25 \cdot 0.43}
   E = \frac{8,337,500}{117.0675} \approx 71,22 \text{ MPa/mm}^2

Convertendo para GigaPascals (GPa):
E \approx 71.2 \text{ GPa}

Resultado: O módulo de elasticidade do alumínio é de aproximadamente 71.2 GPa (valor próximo ao padrão de $69 \text{--} 70 \text{ GPa}$).

Conclusão

As questões abordam aplicações diretas da Lei de Hooke para materiais isotrópicos e homogêneos.

• Na 6.3, aplicamos a tensão para encontrar a deformação unitária.
• Na 6.4, usamos o limite de deformação para dimensionar o comprimento da peça.
• Na 6.5, inversamente, usamos a deformação medida para determinar a propriedade do material (E).