Considere o sistema de equações lineares $Ax = b$, com $m$ equações e $n$ incógnitas. Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir.

Alternativa D - III e IV

Análise Detalhada

Para resolver esta questão de Álgebra Linear, precisamos compreender as propriedades fundamentais de sistemas lineares, especialmente a relação entre o número de equações, incógnitas e a unicidade da solução do sistema homogêneo associado.

1. Entendendo o Enunciado

O problema apresenta um sistema $Ax = b$ com $m$ equações (linhas) e $n$ incógnitas (colunas). A condição crucial fornecida é: "a solução do sistema homogêneo correspondente seja única".

• Sistema Homogêneo: É o caso onde $Ax = 0$.
• Solução Única: Significa que a única solução possível é a solução trivial, onde todos os elementos de $x$ são zero ($x = 0$).

Para que isso ocorra, duas consequências matemáticas importantes surgem:

1. As colunas da matriz $A$ devem ser Linearmente Independentes.
2. O posto da matriz $A$ deve ser igual ao número de incógnitas ($\text{posto}(A) = n$).

## Análise das Afirmações

Vamos avaliar cada item com base nos conceitos acima:

I. As colunas da matriz $A$ são linearmente dependentes.

• Falso. Se as colunas fossem dependentes, existiria uma combinação linear não-trivial das colunas que resultasse no vetor nulo, gerando infinitas soluções para o sistema homogêneo. Como a solução é única, as colunas são independentes.

II. O sistema de equações lineares $Ax = b$ tem infinitas soluções.

• Falso. Como o posto da matriz é $n$ (igual ao número de incógnitas), o número de variáveis livres é $n - n = 0$. Um sistema consistente com zero variáveis livres possui solução única. Se fosse inconsistente, não teria solução. Nunca teria infinitas soluções.

III. Se $m > n$, então a matriz $A$ tem $m - n$ linhas que são combinações lineares de $n$ linhas.

• Verdadeiro. Sabemos que $\text{posto}(A) = n$. Isso significa que o espaço gerado pelas linhas tem dimensão $n$. Se temos $m$ linhas e $m > n$, essas linhas são vetores em um espaço de dimensão $n$. Por definição de dimensão, é possível selecionar $n$ linhas linearmente independentes (uma base) e as demais $m - n$ linhas serão necessariamente combinações lineares dessa base.

IV. A quantidade de equações do sistema $Ax = b$ é maior ou igual à quantidade de incógnitas.

• Verdadeiro. Para que existam $n$ colunas linearmente independentes na matriz $A$, é obrigatório que haja pelo menos $n$ linhas. Ou seja, $m \geq n$. Se $m < n$, o posto seria no máximo $m$, o que implicaria $n - \text{posto} > 0$ variáveis livres, contradizendo a unicidade da solução.

Conclusão

Com base na análise:

• Item I: Errado
• Item II: Errado
• Item III: Correto
• Item IV: Correto

As únicas afirmações corretas são a III e a IV.

Alternativa D