Seja o escoamento de água no interior de uma tubulação cujo campo de velocidades é dado por u(r) = K(R² - r²), em que K é uma constante, R é o raio da tubulação e r é a posição medida a partir do eixo (centro). Se a velocidade média é de 0,01m/s e o raio é de 1 mm, qual é a classificação desse escoamento?

Alternativa B

Para classificar o escoamento descrito, devemos analisar quatro características principais: regime temporal, dimensionalidade, propriedades do fluido e regime de escoamento (laminar/turbulento).

Análise Detalhada

1. Regime Temporal (Permanente vs. Transiente)

O campo de velocidades é dado por u(r) = K(R^2 - r^2).
Observe que a variável tempo (t) não aparece na equação.

• Conclusão: O escoamento não muda com o tempo. Portanto, é Permanente (ou Estacionário).

2. Dimensionalidade (1D vs. 2D)

A velocidade u depende apenas da posição radial r (e das constantes K e R). Não há dependência de outras coordenadas espaciais (como ângulo \theta ou comprimento axial x) na expressão da velocidade axial.

• Conclusão: É um escoamento essencialmente 1D (unidimensional), pois a variação ocorre apenas ao longo de uma dimensão espacial (o raio).

3. Propriedades do Fluido (Viscoso vs. Invíscido)

A equação u(r) = K(R^2 - r^2) descreve um perfil parabólico. Este é o resultado clássico da Lei de Poiseuille para escoamento em tubos.

• Esse perfil existe devido ao atrito interno (viscosidade) que faz a velocidade ser zero na parede (r=R) e máxima no centro (r=0).
• Um fluido invíscido (sem viscosidade) não teria essa aderência à parede e apresentaria um perfil de velocidade uniforme ("plug flow").
• Conclusão: O escoamento é Viscoso.

4. Regime de Escoamento (Laminar vs. Turbulento)

Para determinar se é laminar ou turbulento, calculamos o Número de Reynolds (Re).
Re = \frac{V \cdot D}{\nu}

Onde:

• V = Velocidade média = $0,01 \text{ m/s}$
• D = Diâmetro = $2 \times \text{Raio} = 2 \times 1 \text{ mm} = 0,002 \text{ m}$
• \nu = Viscosidade cinemática da água \approx 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s} (valor padrão a $20^\circ\text{C}$)

Realizando o cálculo:
Re = \frac{0,01 \cdot 0,002}{1 \times 10^{-6}} = \frac{2 \times 10^{-5}}{10^{-6}} = 20

O critério geral para tubulações é:

• Re < 2000: Laminar
• $2000 < Re < 4000$: Transição
• Re > 4000: Turbulento

Como Re = 20, o valor é muito baixo, indicando claramente um regime Laminar.

Conclusão

Unindo todas as classificações identificadas:

1. Permanente (não depende do tempo)
2. 1D (depende apenas de r)
3. Viscoso (perfil parabólico exige atrito)
4. Laminar (Re = 20 \ll 2000)

A única alternativa que contém todas essas características corretamente é a B.