Alternativa B - \left(\frac{R+h_1}{R+h_2}\right)^{\frac{1}{2}}
A questão aborda o movimento de satélites em órbitas circulares ao redor de um planeta. Para resolver, precisamos da fórmula da velocidade orbital e entender como o raio da órbita é definido.
Desenvolvimento
A velocidade de um satélite em uma órbita circular depende apenas da massa do corpo central e da distância do centro desse corpo até o satélite. A força gravitacional atua como força centrípeta:
\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}
Isolando a velocidade v, temos a expressão fundamental para órbitas circulares:
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
Onde:
- G é a constante gravitacional.
- M é a massa do planeta.
- r é a distância do centro do planeta ao satélite (raio da órbita).
No enunciado, as altitudes são dadas por h_1 e h_2 acima da superfície, e R é o raio do planeta. Portanto, o raio total da órbita é a soma do raio do planeta com a altura:
r = R + h
Assim, as velocidades nas duas órbitas serão:
- Órbita 1: v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R + h_1}}
- Órbita 2: v_2 = \sqrt{\frac{GM}{R + h_2}}
Para encontrar a razão \frac{v_2}{v_1}, dividimos as equações:
\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R + h_2}}}{\sqrt{\frac{GM}{R + h_1}}}
Como \sqrt{GM} está no numerador das frações internas, ele se cancela:
\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R + h_1}{R + h_2}}
Ou, na forma exponencial:
\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R + h_1}{R + h_2}\right)^{\frac{1}{2}}
Análise
- Variável Raio: O raio da órbita não é apenas a altura (h), mas a soma da altura com o raio do planeta (R + h). Isso elimina a alternativa A.
- Dependência Inversa: A velocidade diminui quanto maior for a órbita (maior r). Isso significa que v é inversamente proporcional à raiz quadrada de r.
- Expoente Correto: Como a relação é com a raiz quadrada (\sqrt{x} = x^{1/2}), o expoente final deve ser \frac{1}{2}. Isso elimina as alternativas C, D e E.
- Comparação: A razão correta coloca o termo associado à primeira órbita (R+h_1) no numerador, pois ela estava no denominador original dentro da raiz ao passar para o outro lado da divisão.
Alternativa B.