Para resolver esta questão de Matemática Financeira sobre Juros Compostos, precisamos identificar os dados fornecidos e aplicar a fórmula adequada para encontrar o Capital Inicial.
Dados do Problema
- Montante Final (M): R$ 3.825,50 (valor que será resgatado)
- Taxa de Juros (i): 3% ao semestre ($0,03$)
- Tempo (n): 18 meses
- Incógnita: Capital Investido (C)
Passo 1: Alinhar as Unidades de Tempo
A taxa de juros é informada ao semestre, enquanto o prazo é dado em meses. Para usar a fórmula corretamente, devemos converter o tempo para semestres.
Sabemos que:
- 1 semestre = 6 meses
- Prazo total = 18 meses
n = \frac{18 \text{ meses}}{6 \text{ meses/semestre}} = 3 \text{ semestres}
Passo 2: Aplicar a Fórmula de Juros Compostos
A fórmula básica para o Montante em juros compostos é:
M = C \cdot (1 + i)^n
Onde:
- M é o Montante
- C é o Capital (o que queremos descobrir)
- i é a taxa de juros
- n é o número de períodos
Substituindo os valores conhecidos:
3825,50 = C \cdot (1 + 0,03)^3
3825,50 = C \cdot (1,03)^3
Passo 3: Resolver a Equação
Primeiro, calculamos o fator de acumulação (1,03)^3:
(1,03)^3 = 1,03 \times 1,03 \times 1,03 \approx 1,0927
Agora, isolamos o Capital (C):
C = \frac{3825,50}{1,0927}
C \approx 3500,96
Arredondando para valores próximos encontrados nas opções, temos aproximadamente R$ 3.500,00.
## Análise das Alternativas
Podemos também analisar logicamente para descartar respostas incorretas:
| Lógica | Análise |
|---|
| Capital < Montante | Como houve rendimento de juros (3%), o valor investido (Capital) deve ser estritamente menor que o valor resgatado (R$ 3.825,50). |
| Descarte | As alternativas D (R$ 3.800,50) e E (R$ 3.925,50) são maiores ou muito próximas demais do montante final, o que seria impossível com apenas 3% de rendimento ao semestre. |
| Confirmação | A alternativa C (R$ 3.500,00) é a única que se encaixa no cálculo exato realizado acima. |
Conclusão
A quantia investida inicialmente foi de aproximadamente R$ 3.500,00.
Alternativa C