3i+4j determinar ângulos directores

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Resumo da Resposta

Os ângulos diretores do vetor $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ são aproximadamente $\alpha \approx 53,13^\circ$ (eixo x), $\beta \approx 36,87^\circ$ (eixo y) e $\gamma = 90^\circ$ (eixo z).

Desenvolvimento Didático

1. Conceito de Ângulos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor são os ângulos que ele forma com cada um dos eixos cartesianos positivos ( $x$ , $y$ , $z$ ). Eles são denotados por $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ respectivamente.

Para um vetor $\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}$ , as relações fundamentais são dadas pelos cossenos diretores:

\cos \alpha = \frac{a}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \beta = \frac{b}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \gamma = \frac{c}{|\mathbf{v}|}

2. Identificação dos Dados

Dado o vetor:
$\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$

Podemos identificar as componentes:

$a = 3$ (componente x)
$b = 4$ (componente y)
$c = 0$ (componente z, pois não há termo $\mathbf{k}$ )

3. Cálculo do Módulo do Vetor

Antes de achar os ângulos, precisamos do módulo (comprimento) do vetor $|\mathbf{v}|$ :

|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Substituindo os valores:

|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

4. Cálculo dos Ângulos Diretores

Agora aplicamos a fórmula dos cossenos diretores para cada eixo.

Eixo X ( $\alpha$ ):
$\cos \alpha = \frac{3}{5} = 0,6$
$\alpha = \arccos(0,6) \approx 53,13^\circ$

Eixo Y ( $\beta$ ):
$\cos \beta = \frac{4}{5} = 0,8$
$\beta = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ$

Eixo Z ( $\gamma$ ):
$\cos \gamma = \frac{0}{5} = 0$
$\gamma = \arccos(0) = 90^\circ$

Note que, como o vetor está inteiramente no plano $xy$ , ele é perpendicular ao eixo $z$ , formando um ângulo reto ($90^\circ$).

Verificação

Podemos verificar se a soma dos quadrados dos cossenos diretores é igual a 1, uma propriedade fundamental:

\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1

A propriedade foi satisfeita, confirmando os cálculos.

Conclusão

Os ângulos diretores são:

Eixo	Ângulo	Valor Decimal
X	$\alpha$	$53,13^\circ$
Y	$\beta$	$36,87^\circ$
Z	$\gamma$	$90^\circ$

Explicação passo a passo

Resumo da resposta