3i+4j determinar ângulos directores

Resumo da Resposta

Os ângulos diretores do vetor $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ são aproximadamente $\alpha \approx 53,13^\circ$ (eixo x), $\beta \approx 36,87^\circ$ (eixo y) e $\gamma = 90^\circ$ (eixo z).

Desenvolvimento Didático

1. Conceito de Ângulos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor são os ângulos que ele forma com cada um dos eixos cartesianos positivos ($x$, $y$, $z$). Eles são denotados por $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ respectivamente.

Para um vetor $\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}$, as relações fundamentais são dadas pelos cossenos diretores:

$$ \cos \alpha = \frac{a}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \beta = \frac{b}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \gamma = \frac{c}{|\mathbf{v}|} $$

2. Identificação dos Dados

Dado o vetor:
$$ \mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $$

Podemos identificar as componentes:

• $a = 3$ (componente x)
• $b = 4$ (componente y)
• $c = 0$ (componente z, pois não há termo $\mathbf{k}$)

3. Cálculo do Módulo do Vetor

Antes de achar os ângulos, precisamos do módulo (comprimento) do vetor $|\mathbf{v}|$:

$$ |\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$

Substituindo os valores:

$$ |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

4. Cálculo dos Ângulos Diretores

Agora aplicamos a fórmula dos cossenos diretores para cada eixo.

Eixo X ($\alpha$):
$$ \cos \alpha = \frac{3}{5} = 0,6 $$
$$ \alpha = \arccos(0,6) \approx 53,13^\circ $$

Eixo Y ($\beta$):
$$ \cos \beta = \frac{4}{5} = 0,8 $$
$$ \beta = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ $$

Eixo Z ($\gamma$):
$$ \cos \gamma = \frac{0}{5} = 0 $$
$$ \gamma = \arccos(0) = 90^\circ $$

Note que, como o vetor está inteiramente no plano $xy$, ele é perpendicular ao eixo $z$, formando um ângulo reto ($90^\circ$).

Verificação

Podemos verificar se a soma dos quadrados dos cossenos diretores é igual a 1, uma propriedade fundamental:

$$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 $$

A propriedade foi satisfeita, confirmando os cálculos.

Conclusão

Os ângulos diretores são: