Matemática — Geometria Dissertativa

3i+4j determinar ângulos directores

3i+4j determinar ângulos directores

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Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resumo da Resposta

Os ângulos diretores do vetor \mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} são aproximadamente $\alpha \approx 53,13^\circ$ (eixo x), $\beta \approx 36,87^\circ$ (eixo y) e $\gamma = 90^\circ$ (eixo z).

Desenvolvimento Didático

1. Conceito de Ângulos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor são os ângulos que ele forma com cada um dos eixos cartesianos positivos (x, y, z). Eles são denotados por \alpha, \beta e \gamma respectivamente.

Para um vetor \mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}, as relações fundamentais são dadas pelos cossenos diretores:

\cos \alpha = \frac{a}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \beta = \frac{b}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos \gamma = \frac{c}{|\mathbf{v}|}

2. Identificação dos Dados

Dado o vetor:
\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}

Podemos identificar as componentes:

  • a = 3 (componente x)
  • b = 4 (componente y)
  • c = 0 (componente z, pois não há termo \mathbf{k})

3. Cálculo do Módulo do Vetor

Antes de achar os ângulos, precisamos do módulo (comprimento) do vetor |\mathbf{v}|:

|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Substituindo os valores:

|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

4. Cálculo dos Ângulos Diretores

Agora aplicamos a fórmula dos cossenos diretores para cada eixo.

Eixo X (\alpha):
\cos \alpha = \frac{3}{5} = 0,6
\alpha = \arccos(0,6) \approx 53,13^\circ

Eixo Y (\beta):
\cos \beta = \frac{4}{5} = 0,8
\beta = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ

Eixo Z (\gamma):
\cos \gamma = \frac{0}{5} = 0
\gamma = \arccos(0) = 90^\circ

Note que, como o vetor está inteiramente no plano xy, ele é perpendicular ao eixo z, formando um ângulo reto ($90^\circ$).

Verificação

Podemos verificar se a soma dos quadrados dos cossenos diretores é igual a 1, uma propriedade fundamental:

\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1

A propriedade foi satisfeita, confirmando os cálculos.

Conclusão

Os ângulos diretores são:

EixoÂnguloValor Decimal
X\alpha$53,13^\circ$
Y\beta$36,87^\circ$
Z\gamma$90^\circ$

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