Assinale a alternativa que apresenta a distância correta entre o ponto P(0,1,2) e o plano β: x = (1, 2, 4) + λ(1, 0, 0) + γ(0, 1, 0).

Alternativa A - d(P, \beta) = 2 \text{ u. m.}

Resolução Didática

Para resolver este problema de geometria analítica espacial, precisamos encontrar a distância do ponto P até o plano \beta. Vamos seguir estes passos lógicos:

1. Análise do Plano

O plano \beta é dado na forma paramétrica (vetorial):
x = (1, 2, 4) + \lambda(1, 0, 0) + \gamma(0, 1, 0)

Isso nos informa duas coisas essenciais:

• Um ponto pertencente ao plano: A = (1, 2, 4).
• Dois vetores diretores que definem a "direção" do plano: \vec{u} = (1, 0, 0) e \vec{v} = (0, 1, 0).

2. Encontrando o Vetor Normal

O vetor normal (\vec{n}) é perpendicular a todos os vetores do plano. Calculamos fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores:

Calculando o determinante:
\vec{n} = (0)\mathbf{i} - (0)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k} = (0, 0, 1)

Portanto, o vetor normal é \vec{n} = (0, 0, 1).
Observação: Como os vetores diretores estão alinhados com os eixos X e Y, o plano é paralelo ao plano XY, logo seu vetor normal aponta apenas para o eixo Z.

3. Determinando a Equação Geral do Plano

Com o vetor normal (0, 0, 1) e um ponto A(1, 2, 4), usamos a fórmula da equação do plano:
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

Substituindo os valores:
0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 4) = 0
z - 4 = 0

Ou seja, a equação do plano é simplesmente $z = 4$.

4. Calculando a Distância

Agora calculamos a distância do ponto P(0, 1, 2) ao plano z - 4 = 0.
Podemos usar a fórmula geral da distância ponto-plano:
d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d_{const}|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Onde a equação do plano é $0x + 0y + 1z - 4 = 0$ (logo a=0, b=0, c=1, d_{const}=-4) e o ponto é (0, 1, 2).

Conclusão:
A distância é exatamente 2 unidades de medida.

Análise das Alternativas