Assinale a alternativa que representa a distância correta entre o plano β: -x + y - 9 = 0 e o ponto P = (1, -1, 0).

Question

Assinale a alternativa que representa a distância correta entre o plano β: x + y 9 = 0 e o ponto P = (1, 1, 0). A) d(P, β) = 11/2 B) d(P, β) = √2 / 2 C) d(P, β) = 1/2 D) d(P, β) = 11 E) d(P, β) = 11√2 / 2

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Alternativa E Para resolver este problema de Geometria Analítica, precisamos calcular a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional. Fórmula da Distância A fórmula utilizada para encontrar a distância $d$ entre um ponto $P(x 0, y 0, z 0)$ e um plano $\alpha: Ax + By + Cz + D = 0$ é dada por: $$d(P, \alpha) = \frac{|Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Esta fórmula representa a projeção ortogonal do vetor que liga o ponto ao plano sobre o vetor normal do plano. Passo a Passo da Resolução Identificamos os valores fornecidos na questão: Equação do plano $\beta$ : $ x + y 9 = 0$ Comparando com a forma geral ($Ax + By + Cz + D = 0$): $A = 1$ $B = 1$ $C = 0$ (não existe termo em $z$) $D = 9$ Coordenadas do ponto $P$ : $(1, 1, 0)$ $x 0 = 1$ $y 0 = 1$ $z 0 = 0$ 1. Cálculo do Numerador (Valor Absoluto) Substituímos os valores da equação do plano nas coordenadas do ponto: $$|Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D| = |( 1)(1) + (1)( 1) + (0)(0) + ( 9)|$$ Realizando as multiplicações e somas: $$= | 1 1 + 0 9|$$ $$= | 11|$$ $$= 11$$ 2. Cálculo do Denominador (Módulo do Vetor Normal) Calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes diretores do plano: $$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{( 1)^2 + (1)^2 + (0)^2}$$ $$= \sqrt{1 + 1 + 0}$$ $$= \sqrt{2}$$ 3. Montagem da Fração e Racionalização Colocamos o resultado do numerador sobre o denominador: $$d(P, \beta) = \frac{11}{\sqrt{2}}$$ Como nenhuma alternativa apresenta essa forma exata, precisamos racionalizar o denominador . Multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt{2}$: $$d(P, \beta) = \frac{11 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2}$$ Análise das Alternativas Comparando nosso resultado final com as opções apresentadas: | Alternativa | Valor | Status | | : | : | : | | A) | $\frac{11}{2}$ | Incorreta | | B) | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | Incorreta | | C) | $\frac{1}{2}$ | Incorreta | | D) | $11$ | Incorreta | | E) | $\frac{11\sqrt{2}}{2}$ | Correta | Portanto, a alternativa correta é a E .

Explicação passo a passo

Fórmula da Distância

Passo a Passo da Resolução

1. Cálculo do Numerador (Valor Absoluto)

2. Cálculo do Denominador (Módulo do Vetor Normal)

3. Montagem da Fração e Racionalização

Análise das Alternativas

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Alternativa	Valor	Status
A)	$\frac{11}{2}$	Incorreta
B)	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	Incorreta
C)	$\frac{1}{2}$	Incorreta
D)	$11$	Incorreta
E)	$\frac{11\sqrt{2}}{2}$	Correta