Alternativa C
Para encontrar a resposta correta, precisamos analisar as propriedades da função definida por partes apresentada na imagem. A função possui três trechos com domínios diferentes, e devemos verificar domínio, imagem, injetividade e comportamento de crescimento.
Análise Detalhada
Vamos examinar cada afirmação passo a passo para descartar as incorretas e confirmar a verdadeira.
1. Domínio da Função
O domínio é a união dos intervalos onde a função está definida:
- Intervalo 1: $0 \leq x < 1$
- Intervalo 2: $1 \leq x \leq 6$
- Intervalo 3: $6 < x \leq 7$
Unindo esses intervalos, obtemos o domínio total:
D_f = [0, 7]
Portanto, a alternativa A está incorreta, pois o domínio não são todos os números reais (\mathbb{R}).
2. Crescimento e Decrescimento
Analisamos o comportamento de cada trecho:
- Para $0 \leq x < 1$, temos f(x) = 4x. É uma reta crescente.
- Para $1 \leq x \leq 6$, temos f(x) = x^2 - 7x + 10. É uma parábola com vértice em x = 3,5. Ela decresce até x=3,5 e cresce depois.
- Para $6 < x \leq 7$, temos f(x) = -4x + 28. É uma reta decrescente.
Como a função ora cresce, ora decresce, ela não é monotônica.
Assim, as alternativas D (crescente em todos os pontos) e E (decrescente em todos os pontos) estão incorretas.
3. Bijetividade
Uma função bijetora deve ser injetora (cada valor de y vem de apenas um x). Vamos calcular alguns valores de extremidade:
- f(1) = 1^2 - 7(1) + 10 = 4
- f(6) = 6^2 - 7(6) + 10 = 36 - 42 + 10 = 4
Como f(1) = f(6) = 4, dois valores distintos de entrada produzem o mesmo resultado de saída. Logo, a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora.
A alternativa B está incorreta.
4. Conjunto Imagem
Precisamos encontrar o menor e o maior valor que a função assume.
- No primeiro trecho ([0, 1)), os valores vão de $0$ até quase $4$.
- No segundo trecho ([1, 6]), o mínimo ocorre no vértice da parábola (x=3,5):
y_{min} = (3,5)^2 - 7(3,5) + 10 = 12,25 - 24,5 + 10 = -2,25 = -\frac{9}{4}
O máximo neste trecho é $4$ (nas bordas). - No terceiro trecho ((6, 7]), os valores vão de quase $4$ até $0$.
Unificando todos os valores encontrados, o mínimo global é -\frac{9}{4} e o máximo global é $4$.
O conjunto imagem é o intervalo fechado:
Im(f) = \left[ -\frac{9}{4}, 4 \right]
Isso confirma que a alternativa C está correta.
Conclusão
Após analisar todas as propriedades da função, concluímos que a única afirmação verdadeira é sobre o conjunto imagem.
Alternativa C