Qual a distância do ponto A = (-3, 2, 1) ao plano x = 1? Encontre o centro e raio da esfera x² + y² + z² - 3x - 8y - 7z = 63/2.

Esta é uma questão de Geometria Analítica Espacial, envolvendo conceitos de distância ponto-plano e equações de esferas.

Análise da Parte (a): Distância Ponto-Plano

Para encontrar a distância entre um ponto $A(x0, y0, z_0)$ e um plano $\pi$, utilizamos a fórmula geral da distância pontoplana:

$$d = \frac{|ax0 + by0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

No entanto, neste caso específico, podemos simplificar o raciocínio observando a natureza do plano:

• Plano: $x = 1$ (que equivale a $x - 1 = 0$). Este é um plano paralelo ao plano $yz$, perpendicular ao eixo $x$.
• Ponto: $A(-3, 2, 1)$.

Como o plano depende apenas da coordenada $x$, a distância é simplesmente o módulo da diferença entre a coordenada $x$ do ponto e a coordenada $x$ do plano.

$$d = |xA - x{plano}|$$

$$d = |-3 - 1|$$

$$d = |-4|$$
$$d = 4$$

Portanto, a distância é 4 unidades.

Análise da Parte (b): Centro e Raio da Esfera

A equação fornecida é a equação geral da esfera:
$$x^2 + y^2 + z^2 - Dx - Ey - Fz + G = 0$$

Para encontrar o centro e o raio, precisamos transformá-la na equação reduzida:
$$(x - xc)^2 + (y - yc)^2 + (z - z_c)^2 = R^2$$

Isso é feito através do método de completar quadrados para cada variável.

Passo 1: Agrupar os termos semelhantes

$$ (x^2 - 3x) + (y^2 - 8y) + (z^2 - 7z) = \frac{63}{2} $$

Passo 2: Completar os quadrados

Adicionamos ao lado esquerdo os quadrados dos metade dos coeficientes lineares, e mantemos a igualdade somando esses mesmos valores ao lado direito.

• Para $x$: metade de $-3$ é $-\frac{3}{2}$, seu quadrado é $\frac{9}{4}$.
• Para $y$: metade de $-8$ é $-4$, seu quadrado é $16$.
• Para $z$: metade de $-7$ é $-\frac{7}{2}$, seu quadrado é $\frac{49}{4}$.

A equação fica:
$$ \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 4)^2 + \left(z - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{63}{2} + \frac{9}{4} + 16 + \frac{49}{4} $$

Passo 3: Calcular o valor do raio ($R^2$)

Vamos somar o lado direito. Para facilitar, vamos colocar tudo sobre denominador 4:

• $\frac{63}{2} = \frac{126}{4}$
• $16 = \frac{64}{4}$

Soma:
$$ R^2 = \frac{126 + 9 + 64 + 49}{4} = \frac{248}{4} = 62 $$

Logo, $R^2 = 62 \Rightarrow R = \sqrt{62}$.

Passo 4: Identificar o Centro

Comparando com a forma reduzida, temos:

• $x_c = \frac{3}{2}$
• $y_c = 4$
• $z_c = \frac{7}{2}$

Resumo das Respostas

(a) A distância do ponto $A$ ao plano é 4 unidades.

(b)

• Centro da esfera: $C\left(\frac{3}{2}, 4, \frac{7}{2}\right)$
• Raio da esfera: $R = \sqrt{62}$