Alternativa D
Análise da Questão
O objetivo deste exercício é determinar a relação geométrica entre dois planos no espaço tridimensional. Para isso, utilizamos os vetores normais associados a cada equação plana. A relação angular entre esses vetores define diretamente a relação espacial entre os planos.
Passo 1: Identificar os Vetores Normais
Toda equação de um plano na forma geral Ax + By + Cz + D = 0 possui um vetor normal \vec{n} = (A, B, C).
- Plano 1 (\pi_1): $0x + 1y + 1z + 4 = 0$
- Vetor Normal \vec{n}_1 = (0, 1, 1)
- Plano 2 (\pi_2): $3x - 2y + 2z = 0$
- Vetor Normal \vec{n}_2 = (3, -2, 2)
Passo 2: Calcular o Produto Escalar
Para verificar se os vetores são perpendiculares, calculamos o produto escalar (\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2). Se o resultado for zero, os vetores são ortogonais.
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0 \times 3) + (1 \times -2) + (1 \times 2)
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 - 2 + 2 = 0
## Análise Detalhada
Com base nos cálculos acima, podemos concluir logicamente:
- Produto Escalar Zero: Quando o produto escalar entre dois vetores não nulos é igual a zero, eles formam um ângulo de 90°.
- Relação dos Planos: Se os vetores normais são perpendiculares (ângulo de 90°), então os planos também são perpendiculares.
- Eliminação de Alternativas:
- Planos paralelos exigiriam vetores proporcionais (produto escalar não seria zero neste caso específico, além de não haver proporcionalidade).
- Um ângulo de 0° indicaria planos paralelos com vetores iguais.
Conclusão
Os cálculos demonstraram que o cosseno do ângulo é zero, logo o ângulo é de 90°. Consequentemente, os planos possuem orientação perpendicular entre si.
A alternativa que descreve corretamente essa situação é a D: "O ângulo formado é de 90° e os planos são perpendiculares."