A equação do movimento do pêndulo é \theta(t) = 0,2 \cos(1,4t), onde \theta está em radianos e t em segundos.
Análise do Problema
O enunciado descreve um pêndulo simples submetido a uma condição de ângulo pequeno ($0,2 \text{ rad}). Isso é fundamental porque permite utilizar a aproximação $\sin \alpha \approx \alpha, transformando o movimento oscilatório não-linear em Movimento Harmônico Simples (MHS).
No MHS angular, a posição é descrita por funções seno ou cosseno. A escolha da função depende das condições iniciais:
- Se o corpo é solto do repouso na máxima amplitude, utiliza-se o cosseno (pois \cos(0) = 1).
- Se passa pela posição de equilíbrio com velocidade máxima, utiliza-se o seno (pois \sin(0) = 0).
Como o problema afirma que o pêndulo é "largado com velocidade nula em um ângulo $\alpha$", começamos na amplitude máxima. Portanto, a forma geral da equação será:
\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi_0)
Com fase inicial \phi_0 = 0.
Cálculos e Determinação dos Parâmetros
Para preencher a equação, precisamos calcular a frequência angular (\omega) e confirmar os valores dados.
- Comprimento do fio (L): $5 \text{ m}$
- Amplitude angular (\theta_{max}): $0,2 \text{ rad}$
- Aceleração da gravidade (g): Assumimos $9,8 \text{ m/s}^2$ pois gera um número exato neste contexto.
A frequência angular de um pêndulo simples é dada por:
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}
Substituindo os valores:
\omega = \sqrt{\frac{9,8}{5}} = \sqrt{1,96} = 1,4 \text{ rad/s}
Note que se utilizássemos g = 10 \text{ m/s}^2, teríamos \sqrt{2} \approx 1,41, mas $1,4$ é o valor exato obtido com g=9,8, indicando ser a intenção do exercício.
Conclusão
Substituindo \theta_{max} = 0,2 e \omega = 1,4 na forma geral do MHS, obtemos a equação final solicitada:
\theta(t) = 0,2 \cos(1,4t)