Alternativa C
Para encontrar a função lucro ($L$), precisamos entender a relação entre Receita, Custo e Lucro no contexto das funções econômicas. O lucro é simplesmente o que sobra quando subtraímos o custo total da receita total.
Abaixo, detalhamos como construir cada parte da equação:
Construção da Função Lucro
A fórmula fundamental é:
$$L(q) = R(q) - C(q)$$
Onde:
- $R(q)$ é a Receita Total.
- $C(q)$ é o Custo Total.
1. Calculando a Receita Total ($R$)
A receita é obtida multiplicando o preço de venda pelo número de unidades vendidas (quantidade $q$).
- Preço unitário: $p = 1.000 - 5q$
- Quantidade: $q$
Portanto:
$$R(q) = p \cdot q$$
$$R(q) = (1.000 - 5q) \cdot q$$
$$R(q) = 1.000q - 5q^2$$
2. Calculando o Custo Total ($C$)
O custo total é composto pelo custo fixo mais o custo variável (custo unitário vezes a quantidade).
- Custo Fixo: R$ 3.000,00
- Custo Unitário: R$ 10,00
Portanto:
$$C(q) = \text{Custo Fixo} + (\text{Custo Unitário} \cdot q)$$
$$C(q) = 3.000 + 10q$$
3. Determinando a Função Lucro ($L$)
Agora substituímos $R(q)$ e $C(q)$ na fórmula do lucro, lembrando de usar parênteses para o custo para não errar os sinais:
$$L(q) = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)$$
Distribuindo o sinal de menos no custo:
$$L(q) = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q$$
Agrupando os termos semelhantes (ordenando do maior grau para o menor):
- Termo quadrático: $-5q^2$
- Termos lineares: $1.000q - 10q = 990q$
- Constante: $-3.000$
Resultado final:
$$L(q) = -5q^2 + 990q - 3.000$$
Análise das Alternativas
| Alternativa | Função Apresentada | Veredito |
|---|
| A | $L = 4.000 - 5q$ | Incorreta. Não considera a forma quadrática da receita. |
| B | $L = -2.000 - 5q^2$ | Incorreta. Erros de cálculo nos termos lineares e constantes. |
| C | $L = -5q^2 + 990q - 3.000$ | Correta. Igual ao resultado deduzido. |
| D | $L = -5q^2 + 1.000q + 3.000$ | Incorreta. Sinal do custo fixo positivo e não desconta o custo variável. |
| E | $L = 5q^2 - 990q + 3000$ | Incorreta. Todos os sinais estão invertidos. |
Conclusão
A função que representa o lucro total da empresa, considerando a receita derivada da demanda e os custos fixos e variáveis informados, é dada pela alternativa C.