A demanda mensal (q) referente a sacos de cimento produzidos pela empresa Construciona relaciona-se com o preço unitário de venda (p) através da função p=1.000-5q. O custo fixo de produção para esse produto é de R$ 3.000,00 com custo unitário igual a R$ 10,00. Com base em tais informações, é CORRETO afirmar que a função lucro (L) total para esse produto, em relação à quantidade produzida q, é dada por:

Alternativa C

Para encontrar a função lucro ($L$), precisamos entender a relação entre Receita, Custo e Lucro no contexto das funções econômicas. O lucro é simplesmente o que sobra quando subtraímos o custo total da receita total.

Abaixo, detalhamos como construir cada parte da equação:

Construção da Função Lucro

A fórmula fundamental é:
$$L(q) = R(q) - C(q)$$

Onde:

• $R(q)$ é a Receita Total.
• $C(q)$ é o Custo Total.

1. Calculando a Receita Total ($R$)

A receita é obtida multiplicando o preço de venda pelo número de unidades vendidas (quantidade $q$).

• Preço unitário: $p = 1.000 - 5q$
• Quantidade: $q$

Portanto:
$$R(q) = p \cdot q$$
$$R(q) = (1.000 - 5q) \cdot q$$
$$R(q) = 1.000q - 5q^2$$

2. Calculando o Custo Total ($C$)

O custo total é composto pelo custo fixo mais o custo variável (custo unitário vezes a quantidade).

• Custo Fixo: R$ 3.000,00
• Custo Unitário: R$ 10,00

Portanto:
$$C(q) = \text{Custo Fixo} + (\text{Custo Unitário} \cdot q)$$
$$C(q) = 3.000 + 10q$$

3. Determinando a Função Lucro ($L$)

Agora substituímos $R(q)$ e $C(q)$ na fórmula do lucro, lembrando de usar parênteses para o custo para não errar os sinais:

$$L(q) = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)$$

Distribuindo o sinal de menos no custo:
$$L(q) = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q$$

Agrupando os termos semelhantes (ordenando do maior grau para o menor):

• Termo quadrático: $-5q^2$
• Termos lineares: $1.000q - 10q = 990q$
• Constante: $-3.000$

Resultado final:
$$L(q) = -5q^2 + 990q - 3.000$$

Análise das Alternativas

Conclusão

A função que representa o lucro total da empresa, considerando a receita derivada da demanda e os custos fixos e variáveis informados, é dada pela alternativa C.