Alternativa D - Todas as afirmativas são verdadeiras.
Introdução
A parity (paridade) de funções refere-se a sua comportamento em relação à simetria em relação ao eixo y. Uma função é par se f(-x) = f(x), e ímpar se f(-x) = -f(x). Vamos analisar o produto de funções par e ímpar.
Desenvolvimento
- Afirmação I: Produto de duas funções pares. Se f(x) e g(x) são pares, então f(-x) = f(x) e g(-x) = g(x). O produto h(x) = f(x) \cdot g(x) satisfaz h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x) = h(x), logo é par.
- Afirmação II: Produto de duas funções ímpares. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x). O produto h(x) = f(x) \cdot g(x) satisfaz h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = h(x), logo é par.
- Afirmação III: Produto de uma função par e uma ímpar. Se f(x) é par e g(x) é ímpar, então h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -h(x), logo é ímpar.
Análise
- Todas as afirmativas (I, II e III) são verdadeiras.
- Exemplos concretos:
- I: f(x) = x^2 (par) e g(x) = x^4 (par) → h(x) = x^6 (par).
- II: f(x) = x^3 (ímpar) e g(x) = x^5 (ímpar) → h(x) = x^8 (par).
- III: f(x) = x^2 (par) e g(x) = x^3 (ímpar) → h(x) = x^5 (ímpar).
Conclusão
A alternativa correta é a D, pois todas as afirmativas sobre a paridade do produto de funções são verdadeiras.