Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00, 10% sobre a renda, menos 1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. II. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Alternativa D

A questão apresenta uma função definida por partes para o cálculo de imposto de renda. Para encontrar a resposta correta, precisamos analisar o comportamento da função I(x) em cada intervalo de renda e determinar seu conjunto imagem (todos os valores possíveis que o imposto pode assumir).

Análise Detalhada

Vamos decompor a função I(x) baseada nas regras apresentadas no enunciado:

1. Regra I (Renda baixa):

• Condição: $0 \le x \le 10.000$
• Cálculo: I(x) = 0 (Isento)
• Imagem parcial: \{0\}

1. Regra II (Renda média):

• Condição: $10.000 < x \le 20.000$
• Cálculo: I(x) = 10\% \text{ de } x - 1.000 \Rightarrow I(x) = 0,10x - 1.000
• Vamos calcular os extremos deste intervalo:
• Próximo a 10.000: $0,10(10.000) - 1.000 = 1.000 - 1.000 = 0$
• Em 20.000: $0,10(20.000) - 1.000 = 2.000 - 1.000 = 1.000$
• Imagem parcial: [0; 1.000]

1. Regra III (Renda alta):

• Condição: x > 20.000
• Cálculo: I(x) = 20\% \text{ de } x \Rightarrow I(x) = 0,20x
• Vamos calcular o limite inferior (assim que passa de 20.000):
• Próximo a 20.000: $0,20(20.000) = 4.000$
• Como a condição é estritamente maior (>), o valor nunca chega a 4.000, apenas ultrapassa.
• Imagem parcial: (4.000; +\infty)

União das Imagens:
Para obter a imagem total da função, unimos todos os resultados encontrados:
\text{Im}(f) = \{0\} \cup [0; 1.000] \cup (4.000; +\infty)
Simplificando:
\text{Im}(f) = [0; 1.000] \cup (4.000; +\infty)

Por que as outras estão erradas?

• A: A função não é constante, ela varia conforme a renda aumenta.
• B: O domínio começa em 0 (não existe renda negativa), não em 10.000.
• C: A imagem não é [0; +\infty[ porque existe um "buraco". Não existe nenhuma renda que gere um imposto entre R$ 1.000,01 e R$ 4.000,00. Ao passar de R$ 20.000, o imposto salta de R$ 1.000 para algo maior que R$ 4.000.

Portanto, a descrição exata do conjunto imagem corresponde à Alternativa D.