O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:R⁺ →R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x)=2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4)=8, qual é o valor de f(1).

Alternativa B

Para resolver esta questão, precisamos utilizar a propriedade funcional dada no enunciado para "descer" do valor conhecido ($f(4)$) até o valor desejado ($f(1)$).

A condição fornecida é:
$$f(2x) = 2f(x)$$

Isso significa que, se dobrarmos o argumento da função, o resultado também será multiplicado por 2. Para ir de $f(4)$ para $f(1)$, devemos fazer o processo inverso: dividir o argumento pela metade e o resultado também pela metade.

Análise do Problema

Podemos decompor o número 4 em fatores de 2 para aplicar a propriedade sucessivamente:

1. Primeiro passo: Relacionar $f(4)$ com $f(2)$.

• Substituímos $x$ por $2$ na equação $f(2x) = 2f(x)$:
  $$f(2 \cdot 2) = 2f(2) \Rightarrow f(4) = 2f(2)$$
• Sabendo que $f(4) = 8$:
  $$8 = 2f(2) \Rightarrow f(2) = 4$$

1. Segundo passo: Relacionar $f(2)$ com $f(1)$.

• Substituímos $x$ por $1$ na equação original:
  $$f(2 \cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(2) = 2f(1)$$
• Já sabemos que $f(2) = 4$:
  $$4 = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 2$$

Outra perspectiva (Função Linear)

A propriedade $f(2x) = 2f(x)$ é característica de funções lineares da forma $f(x) = k \cdot x$ (função identidade escalada).

• Testando: $f(2x) = k(2x) = 2kx$ e $2f(x) = 2(kx) = 2kx$. As igualdades coincidem.
• Usando $f(4) = 8$: $k \cdot 4 = 8 \Rightarrow k = 2$.
• A função é $f(x) = 2x$.
• Portanto, $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

A alternativa correta é a B.