Alternativa B
Para resolver esta questão, precisamos utilizar a propriedade funcional dada no enunciado para "descer" do valor conhecido (f(4)) até o valor desejado (f(1)).
A condição fornecida é:
f(2x) = 2f(x)
Isso significa que, se dobrarmos o argumento da função, o resultado também será multiplicado por 2. Para ir de f(4) para f(1), devemos fazer o processo inverso: dividir o argumento pela metade e o resultado também pela metade.
Análise do Problema
Podemos decompor o número 4 em fatores de 2 para aplicar a propriedade sucessivamente:
- Primeiro passo: Relacionar f(4) com f(2).
- Substituímos x por $2$ na equação f(2x) = 2f(x):
f(2 \cdot 2) = 2f(2) \Rightarrow f(4) = 2f(2) - Sabendo que f(4) = 8:
8 = 2f(2) \Rightarrow f(2) = 4
- Segundo passo: Relacionar f(2) com f(1).
- Substituímos x por $1$ na equação original:
f(2 \cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(2) = 2f(1) - Já sabemos que f(2) = 4:
4 = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 2
Outra perspectiva (Função Linear)
A propriedade f(2x) = 2f(x) é característica de funções lineares da forma f(x) = k \cdot x (função identidade escalada).
- Testando: f(2x) = k(2x) = 2kx e $2f(x) = 2(kx) = 2kx$. As igualdades coincidem.
- Usando f(4) = 8: k \cdot 4 = 8 \Rightarrow k = 2.
- A função é f(x) = 2x.
- Portanto, f(1) = 2 \cdot 1 = 2.
A alternativa correta é a B.