Alternativa B
Para resolver esta questão, precisamos utilizar a propriedade funcional dada no enunciado para "descer" do valor conhecido ($f(4)$) até o valor desejado ($f(1)$).
A condição fornecida é:
$$f(2x) = 2f(x)$$
Isso significa que, se dobrarmos o argumento da função, o resultado também será multiplicado por 2. Para ir de $f(4)$ para $f(1)$, devemos fazer o processo inverso: dividir o argumento pela metade e o resultado também pela metade.
Análise do Problema
Podemos decompor o número 4 em fatores de 2 para aplicar a propriedade sucessivamente:
- Primeiro passo: Relacionar $f(4)$ com $f(2)$.
- Substituímos $x$ por $2$ na equação $f(2x) = 2f(x)$:
$$f(2 \cdot 2) = 2f(2) \Rightarrow f(4) = 2f(2)$$ - Sabendo que $f(4) = 8$:
$$8 = 2f(2) \Rightarrow f(2) = 4$$
- Segundo passo: Relacionar $f(2)$ com $f(1)$.
- Substituímos $x$ por $1$ na equação original:
$$f(2 \cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(2) = 2f(1)$$ - Já sabemos que $f(2) = 4$:
$$4 = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 2$$
Outra perspectiva (Função Linear)
A propriedade $f(2x) = 2f(x)$ é característica de funções lineares da forma $f(x) = k \cdot x$ (função identidade escalada).
- Testando: $f(2x) = k(2x) = 2kx$ e $2f(x) = 2(kx) = 2kx$. As igualdades coincidem.
- Usando $f(4) = 8$: $k \cdot 4 = 8 \Rightarrow k = 2$.
- A função é $f(x) = 2x$.
- Portanto, $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
A alternativa correta é a B.