O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:R⁺ →R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x)=2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4)=8, qual é o valor de f(1).

Alternativa B

Para resolver esta questão, precisamos utilizar a propriedade funcional dada no enunciado para "descer" do valor conhecido (f(4)) até o valor desejado (f(1)).

A condição fornecida é:
f(2x) = 2f(x)

Isso significa que, se dobrarmos o argumento da função, o resultado também será multiplicado por 2. Para ir de f(4) para f(1), devemos fazer o processo inverso: dividir o argumento pela metade e o resultado também pela metade.

Análise do Problema

Podemos decompor o número 4 em fatores de 2 para aplicar a propriedade sucessivamente:

1. Primeiro passo: Relacionar f(4) com f(2).

• Substituímos x por $2$ na equação f(2x) = 2f(x):
  f(2 \cdot 2) = 2f(2) \Rightarrow f(4) = 2f(2)
• Sabendo que f(4) = 8:
  8 = 2f(2) \Rightarrow f(2) = 4

1. Segundo passo: Relacionar f(2) com f(1).

• Substituímos x por $1$ na equação original:
  f(2 \cdot 1) = 2f(1) \Rightarrow f(2) = 2f(1)
• Já sabemos que f(2) = 4:
  4 = 2f(1) \Rightarrow f(1) = 2

Outra perspectiva (Função Linear)

A propriedade f(2x) = 2f(x) é característica de funções lineares da forma f(x) = k \cdot x (função identidade escalada).

• Testando: f(2x) = k(2x) = 2kx e $2f(x) = 2(kx) = 2kx$. As igualdades coincidem.
• Usando f(4) = 8: k \cdot 4 = 8 \Rightarrow k = 2.
• A função é f(x) = 2x.
• Portanto, f(1) = 2 \cdot 1 = 2.

A alternativa correta é a B.