Para qual valor converge a série \\$S = \sum_{k=1}^{\infty} [\left(\frac{2}{9}\right)^{k} - \left(-\frac{3}{8}\right)^{k}]\\$?

Alternativa C - 43/77

Introdução

A questão envolve a soma infinita de uma série composta por duas termos, e pede para determinar seu valor de convergência. Usamos a fórmula da série geométrica para resolvê-la.

Desenvolvimento

A série é:
S = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \left( \frac{2}{9} \right)^k - \left( -\frac{3}{8} \right)^k \right]

Uma série composta pode ser dividida em duas séries separadas:
S = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{9} \right)^k - \sum_{k=1}^{\infty} \left( -\frac{3}{8} \right)^k

Análise

• Primeira série: \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{9} \right)^k é uma série geométrica com r = \frac{2}{9} (pois |r| < 1, converge). A fórmula para a soma de uma série geométrica \sum_{k=1}^{\infty} r^k é \frac{r}{1 - r}.
  \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{9} \right)^k = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{2}{7}
• Segunda série: \sum_{k=1}^{\infty} \left( -\frac{3}{8} \right)^k é uma série geométrica com r = -\frac{3}{8} (pois |r| < 1, converge). Usando a mesma fórmula:
  \sum_{k=1}^{\infty} \left( -\frac{3}{8} \right)^k = \frac{-\frac{3}{8}}{1 - \left( -\frac{3}{8} \right)} = \frac{-\frac{3}{8}}{\frac{11}{8}} = -\frac{3}{11}

Cálculo final

Substituindo as somas na expressão de S:
S = \frac{2}{7} - \left( -\frac{3}{11} \right) = \frac{2}{7} + \frac{3}{11}

O denominador comum é 77:
\frac{2}{7} = \frac{22}{77} \quad \text{e} \quad \frac{3}{11} = \frac{21}{77}

Assim:
S = \frac{22}{77} + \frac{21}{77} = \frac{43}{77}

Conclusão

O valor de convergência da série é \frac{43}{77}, correspondendo à Alternativa C.