Uma sentença logicamente equivalente a "Se Carlos é matemático, então ele é professor" é:

Alternativa A

A questão aborda o conceito de equivalência lógica em proposições condicionais (do tipo "se... então..."). Para encontrar a sentença equivalente, precisamos aplicar as regras de transformação lógica, especificamente a regra da contrapositiva.

Análise Lógica

Vamos representar a frase original utilizando lógica proposicional para facilitar a visualização das estruturas:

• Seja P: "Carlos é matemático".
• Seja Q: "Ele é professor".

A frase original é uma implicação material expressa como:
P \Rightarrow Q ("Se P, então $Q$")

Existem três transformações principais para condicionais, mas apenas uma preserva o valor lógico original:

1. Contrapositiva (\neg Q \Rightarrow \neg P): É a única forma logicamente equivalente à original. Ela nega a consequência e a antecede, invertendo a ordem.
2. Conversão (Q \Rightarrow P): Inverte os termos sem negar. Não é equivalente.
3. Inversão (\neg P \Rightarrow \neg Q): Negam-se os termos sem inverter a ordem. Não é equivalente.

Verificação das Alternativas

Analisando as opções dadas com base na estrutura da contrapositiva (\neg Q \Rightarrow \neg P):

• (A) "Se Carlos não é professor (\neg Q), então ele não é matemático (\neg P)."
• Esta é exatamente a contrapositiva. Mantém a equivalência lógica.
• (B) "Se Carlos é matemático (P), então ele não é professor (\neg Q)."
• Esta afirmação contradiz a relação de dependência estabelecida originalmente.
• (C) "Se Carlos não é matemático (\neg P), então ele é professor (Q)."
• Esta é uma inversão parcial que não garante equivalência lógica.
• (D) "Se Carlos é professor (Q), então ele não é matemático (\neg P)."
• Isso sugere uma exclusão mútua, diferente da implicação original.
• (E) "Carlos é matemático e professor."
• Trata-se de uma conjunção (P \land Q), não de uma condicional.

Portanto, a única sentença que mantém o mesmo valor lógico da frase inicial é a alternativa A, pois segue rigorosamente a regra da contraposição.