Ao simplificar a expressão (a + b)³ - (a - b)³, obtém-se

Question

Ao simplificar a expressão (a + b)³ (a b)³, obtém se A) 2a(3b² + a²). B) 3a(3b² + a²). C) 3b(3a² + b²). D) 2b(3a² + b²). E) 2a(3a² + b²).

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Alternativa D $2b(3a^2 + b^2)$ Para resolver esta questão, precisamos expandir os produtos notáveis de cubo perfeito e depois realizar a subtração algébrica. Vamos analisar passo a passo como chegar ao resultado correto. Desenvolvimento da Solução A expressão solicitada é a diferença entre dois cubos binomiais: $(a + b)^3$ e $(a b)^3$. 1. Expandindo os Cubos Binomiais Lembrando das fórmulas padrão para expansão de cubos: Cubo da soma: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ Cubo da diferença: $(x y)^3 = x^3 3x^2y + 3xy^2 y^3$ Aplicando essas fórmulas aos termos $a$ e $b$: $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 $$ 2. Realizando a Subtração Agora, substituímos essas expansões na expressão original e fazemos a operação: $$ (a + b)^3 (a b)^3 $$ $$ = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) (a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3) $$ É importante distribuir o sinal de negativo para todos os termos do segundo parêntese: $$ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 a^3 + 3a^2b 3ab^2 + b^3 $$ 3. Agrupando Termos Semelhantes Vamos cancelar os termos que se anulam e somar os que permanecem: | Tipo de Termo | Cálculo | Resultado | | : | : | : | | $a^3$ | $+ a^3 a^3$ | $0$ | | $a^2b$ | $+ 3a^2b + 3a^2b$ | $+ 6a^2b$ | | $ab^2$ | $+ 3ab^2 3ab^2$ | $0$ | | $b^3$ | $+ b^3 + b^3$ | $+ 2b^3$ | O resultado simplificado é: $$ 6a^2b + 2b^3 $$ 4. Fatoração Final Para encontrar a alternativa correta, devemos colocar o termo comum em evidência. Tanto $6a^2b$ quanto $2b^3$ são divisíveis por $2b$. $$ 2b(3a^2 + b^2) $$ Isso corresponde exatamente à última opção apresentada na imagem. Conclusão A alternativa correta é a D , pois a simplificação da expressão resulta em $2b(3a^2 + b^2)$.

Explicação passo a passo

Desenvolvimento da Solução

1. Expandindo os Cubos Binomiais

2. Realizando a Subtração

3. Agrupando Termos Semelhantes

4. Fatoração Final

Conclusão

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Tipo de Termo	Cálculo	Resultado
$a^3$	$+ a^3 - a^3$	$0$
$a^2b$	$+ 3a^2b + 3a^2b$	$+ 6a^2b$
$ab^2$	$+ 3ab^2 - 3ab^2$	$0$
$b^3$	$+ b^3 + b^3$	$+ 2b^3$