Alternativa D - v = (1,0), \lambda = 2
Introdução ao Problema
Esta questão aborda Álgebra Linear, especificamente o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver, precisamos entender a relação fundamental definida na própria pergunta:
Av = \lambda v
Onde:
- A é a matriz dada.
- v é o vetor candidato (autovetor).
- \lambda é o escalar candidato (autovalor).
Nosso objetivo é encontrar o par (v, \lambda) que satisfaz essa igualdade.
Análise Detalhada
1. Propriedades da Matriz A
A matriz fornecida é:
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
Observe que esta é uma matriz diagonal. Uma propriedade importante das matrizes diagonais é que seus autovalores são exatamente os valores que aparecem na diagonal principal.
Portanto, os únicos autovalores possíveis para esta matriz são $\lambda = 2$. Isso já nos ajuda a eliminar algumas alternativas imediatamente:
- Alternativa A (\lambda = -2): Incorreta.
- Alternativa B (\lambda = 4): Incorreta.
- Alternativa E (\lambda = 1): Incorreta.
2. Verificação da Equação Av = \lambda v
Restaram-nos as opções C e D, ambas sugerindo \lambda = 2. Vamos verificar se elas satisfazem a equação vetorial.
Testando a Alternativa C: v = (0,0)
- Embora matematicamente A \cdot (0,0) = (0,0), por definição, um autovetor deve ser um vetor não nulo (v \neq 0). O vetor nulo não é considerado autovetor.
- Logo, a opção C está incorreta.
Testando a Alternativa D: v = (1,0) e \lambda = 2
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:
Av = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 1) + (0 \times 0) \\ (0 \times 1) + (2 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
Agora calculamos \lambda v:
\lambda v = 2 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
Como Av = \lambda v, a condição é satisfeita perfeitamente.
Conclusão
A alternativa D é a única que apresenta um vetor não nulo e um autovalor correto que satisfaz a definição matemática dada no enunciado.
Alternativa D.