Alternativa E
Este é um problema clássico de Matemática Financeira, envolvendo cálculo de número de períodos para amortização de uma dívida utilizando o Sistema Price (prestações constantes). O objetivo é encontrar o valor de n (número de parcelas) necessário para que o Valor Presente da dívida seja quitado, respeitando o limite de pagamento mensal.
Os dados fornecidos são:
- Valor da Dívida (PV): R$ 3.600,00
- Valor Máximo da Parcela (PMT): R$ 400,00
- Taxa de Juros (i): 5% ao mês ($0,05$)
Utilizamos a fórmula do Valor Presente de uma Anuidade (ou Renda Certa):
PV = PMT \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}
Substituindo os valores conhecidos na equação:
3.600 = 400 \times \frac{1 - (1 + 0,05)^{-n}}{0,05}
Dividimos ambos os lados por 400 para simplificar:
9 = \frac{1 - (1,05)^{-n}}{0,05}
Multiplicamos por 0,05:
0,45 = 1 - (1,05)^{-n}
Isolamos o termo exponencial:
(1,05)^{-n} = 1 - 0,45
(1,05)^{-n} = 0,55
Aplicando logaritmo em ambos os lados para resolver n:
-n \times \ln(1,05) = \ln(0,55)
n = \frac{\ln(0,55)}{-\ln(1,05)}
Calculando os valores aproximados dos logaritmos naturais:
- \ln(0,55) \approx -0,5978
- \ln(1,05) \approx 0,0488
n \approx \frac{-0,5978}{-0,0488} \approx 12,25
O resultado indica que são necessários aproximadamente 12,25 meses para quitar a dívida pagando R$ 400,00 mensais. Como não é possível fazer uma fração de parcela no calendário de pagamentos comerciais, arredondamos para cima para garantir que a dívida seja totalmente liquidada.
Análise
- Cálculo Exato: O valor calculado foi de aproximadamente 12,25 parcelas.
- Interpretação: Após 12 pagamentos de R$ 400,00, ainda restará um saldo devedor residual. Portanto, é necessária uma 13ª parcela (que será menor que R$ 400,00) para encerrar o financiamento.
- Restrição Orçamentária: A 13ª parcela será inferior a R$ 400,00, respeitando a regra de "não exceder o orçamento mensal".
- Verificação: Se tentássemos usar apenas 12 parcelas, a dívida não seria quitada, pois o montante pago seria insuficiente para cobrir os juros acumulados.
Alternativa E