Um engenheiro elétrico estudando propriedades de matrizes inversas para solucionar problemas em circuitos elétricos. Ele sabe que a matriz inversa de uma matriz quadrada A, denotada por A⁻¹, possui algumas propriedades importantes. Para testar seus conhecimentos, ele formula a seguinte questão: Uma matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade. Considerando essa propriedade, assinale a alternativa correta:

Alternativa D - Se A e B são matrizes inversas, então B é inversa de A

Introdução

Esta questão aborda as propriedades fundamentais das matrizes inversas, um tópico essencial para álgebra linear e engenharia elétrica (análise de circuitos). Para resolver, precisamos lembrar da definição formal de matriz inversa e verificar quais afirmações correspondem às propriedades matemáticas reais.

Desenvolvimento

Definição de Matriz Inversa:
Uma matriz quadrada A é dita invertível (ou não singular) se existir uma matriz B tal que o produto entre elas resulte na Matriz Identidade (I):
A \cdot B = B \cdot A = I

Nesse caso, dizemos que B é a **inversa de A$**, denotada por $A^{-1}.

Análise das Propriedades:

• Reciprocidade: A relação de inversão é simétrica. Se B é a inversa de A, então A é necessariamente a inversa de B.
• Unicidade: A inversa de uma matriz é única.
• Determinante: Apenas matrizes com determinante diferente de zero (\det(A) \neq 0) possuem inversa.

Análise das Alternativas

Vamos examinar cada opção com base na teoria exposta acima:

• (A) Incorreta: A matriz inversa é igual à transposta apenas no caso específico de matrizes ortogonais (A^{-1} = A^T). Não é uma regra geral.
• (B) Incorreta: Nem toda matriz quadrada possui inversa. Matrizes com determinante nulo (matrizes singulares) não são invertíveis.
• (C) Incorreta: A matriz inversa relaciona-se com a matriz adjunta, mas não é a mesma. A fórmula correta é A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A).
• (D) Correta: Esta alternativa descreve a propriedade de reciprocidade. Se A e B formam um par de matrizes inversas (isto é, B = A^{-1}), então logicamente B é a inversa de A. A relação é mútua.
• (E) Incorreta: A afirmação A^{-1} = A caracteriza as matrizes involutórias (onde A^2 = I). Isso não ocorre com todas as matrizes.

Conclusão

A única afirmação matematicamente válida, considerando a definição geral de inversão de matrizes, é a que estabelece a relação recíproca entre as matrizes do par.

Portanto, a Alternativa D é a correta.