Alternativa C
Para resolver esta questão, precisamos converter as taxas nomiais dadas em taxas efetivas anuais. Isso é necessário porque as taxas possuem diferentes periodidades de capitalização (semestral vs. trimestral), tornando impossível compará-las diretamente sem um padrão comum.
Conceitos Fundamentais
- Taxa Nominal: É a taxa anunciada que não considera a capitalização de juros dentro do mesmo período. Ela deve ser dividida pela frequência de capitalização para obter a taxa periódica.
- Taxa Efetiva: É a taxa real que incide sobre o capital durante um período específico (neste caso, um ano completo), considerando o efeito dos juros compostos nas sub-periodicidades.
A fórmula geral para transformar uma taxa nominal em taxa efetiva anual é:
1 + i_{efetiva} = \left( 1 + \frac{i_{nominal}}{n} \right)^n
Onde:
- i_{nominal} é a taxa nominal anual.
- n é o número de vezes que o rendimento ocorre no ano (periodicidade).
Desenvolvimento do Cálculo
Vamos calcular a taxa efetiva anual para cada uma das duas opções apresentadas no enunciado.
1. Primeira Opção
- Taxa Nominal: $17\%$ ao ano ($0,17$)
- Periodicidade: Semestral ($2$ vezes ao ano)
Primeiro, calculamos a taxa semestral aplicável:
i_{semanal} = \frac{17\%}{2} = 8,5\% = 0,085
Agora, elevamos ao quadrado para obter o efeito acumulado no ano (já que são 2 semestres):
1 + i_{efetiva1} = (1 + 0,085)^2
1 + i_{efetiva1} = (1,085)^2
1 + i_{efetiva1} = 1,177225
i_{efetiva1} = 0,177225 \Rightarrow 17,72\%
2. Segunda Opção
- Taxa Nominal: $16,8\%$ ao ano ($0,168$)
- Periodicidade: Trimestral ($4$ vezes ao ano)
Calculamos a taxa trimestral aplicável:
i_{trimestral} = \frac{16,8\%}{4} = 4,2\% = 0,042
Elevamos à quarta potência para obter o efeito acumulado no ano (já que são 4 trimestres):
1 + i_{efetiva2} = (1 + 0,042)^4
1 + i_{efetiva2} = (1,042)^4
1 + i_{efetiva2} \approx 1,17888
i_{efetiva2} \approx 0,17888 \Rightarrow 17,89\%
Análise
Comparando os resultados obtidos com as alternativas fornecidas:
| Opção | Taxa Nominal | Capitalização | Taxa Efetiva Calculada |
|---|
| Primeira | 17% | Semestral | 17,72% |
| Segunda | 16,8% | Trimestral | 17,89% |
Observamos que a alternativa C apresenta exatamente esses valores: $17,72\%$ e $17,89\%$.
Note também que, embora a taxa nominal da segunda opção seja menor ($16,8\% < 17\%$), a maior frequência de capitalização (trimestral vs. semestral) faz com que ela gere um retorno efetivo ligeiramente superior no final do ano.
Conclusão
A taxa efetiva anual aproximada da primeira opção é 17,72% e da segunda opção é 17,89%. Portanto, a alternativa correta é a C.