Alternativa B
Esta questão envolve conceitos de Estática (equilíbrio de forças) e Elasticidade (Lei de Hooke). Para resolvê-la, precisamos analisar como o peso da bancada e do bloco distribui-se entre as pernas de comprimentos diferentes.
Análise Detalhada das Afirmações
Vamos considerar que a bancada se mantém nivelada após o carregamento. Isso implica que todas as pernas devem tocar o chão ao mesmo tempo no estado final.
1. Análise da Deformação (Afirmação I)
Inicialmente, as três pernas curtas têm comprimento L e tocam o chão. A quarta perna tem comprimento L + d e fica suspensa.
Ao colocar o bloco, a estrutura desce.
- Sejam \Delta x a deformação nas pernas curtas.
- A perna longa precisa comprimir não apenas para acompanhar o deslocamento das outras (\Delta x), mas também para cobrir a diferença inicial de altura (d).
- Logo, a deformação na perna longa será \Delta x_{longa} = \Delta x + d.
Como d > 0, a deformação na perna mais longa é maior.
- Conclusão: A afirmação I é VERDADEIRA.
2. Análise das Forças (Afirmação II)
Aplicamos a Lei de Hooke (F = k \cdot \Delta x), onde a constante elástica k = \frac{YA}{L} (sendo E ou Y o módulo de Young).
- Seja F_3 a força em cada uma das 3 pernas curtas.
- Seja F_4 a força na perna longa.
- Sabemos que F_3 = k \cdot \Delta x.
- E F_4 = k \cdot (\Delta x + d) = F_3 + k \cdot d.
Pela condição de equilíbrio vertical, a soma das forças das pernas deve igualar o peso total (Mg):
3F_3 + F_4 = Mg
Substituindo F_4:
3F_3 + (F_3 + k \cdot d) = Mg
4F_3 + k \cdot d = Mg
4F_3 = Mg - k \cdot d
F_3 = \frac{Mg}{4} - \frac{k \cdot d}{4}
Substituindo k = \frac{EA}{L}:
F_3 = \frac{Mg}{4} - \frac{\left(\frac{EA}{L}\right) \cdot d}{4} = \frac{Mg}{4} - \frac{dAE}{4L}
- Conclusão: A fórmula apresentada na afirmação II é VERDADEIRA.
3. Comparação de Forças (Afirmação III)
Da relação encontrada acima, sabemos que:
F_4 = F_3 + k \cdot d
Como k e d são positivos, resulta que F_4 > F_3.
Isso ocorre porque a perna longa precisa exercer uma força maior para atingir o solo e manter a bancada nivelada, comprimindo-se mais.
- Conclusão: A afirmação III é VERDADEIRA.
4. Variação com d (Afirmação IV)
Para analisar o comportamento de F_4 quando d aumenta, podemos isolar F_4 na equação de equilíbrio:
F_4 = Mg - 3F_3
Ou melhor, substituindo F_3 na expressão de F_4:
F_4 = \left( \frac{Mg}{4} - \frac{k \cdot d}{4} \right) + k \cdot d
F_4 = \frac{Mg}{4} + \frac{3k \cdot d}{4}
Observando a equação, vemos que F_4 é diretamente proporcional a d. Se d aumenta, a força na perna longa aumenta, não diminui.
- Conclusão: A afirmação IV é FALSA.
Resumo
- I: Verdadeira (maior deformação necessária).
- II: Verdadeira (fórmula correta derivada do equilíbrio).
- III: Verdadeira (maior compressão gera maior força).
- IV: Falsa (força aumenta com o aumento de d).
Portanto, as afirmações corretas são I, II e III.
Alternativa B