Uma empresa deseja liquidar um título de R$ 50.000,00 um semestre antes do vencimento. A taxa de desconto racional composto aplicada é de 5% ao mês. Qual será o valor do desconto racional composto?

Alternativa E - R$ 12.689,23

Para resolver esta questão de Matemática Financeira, precisamos calcular o desconto racional composto. Este tipo de desconto considera que o dinheiro tem um valor no tempo, utilizando juros compostos para trazer o valor futuro a valor presente.

Análise dos Dados

Primeiramente, vamos identificar as variáveis fornecidas no enunciado:

• Valor Nominal (N): R$ 50.000,00 (valor do título no vencimento).
• Tempo (n): 1 semestre. Como a taxa é mensal, convertemos para meses: $1 \text{ semestre} = 6 \text{ meses}$.
• Taxa (i): 5% ao mês, ou $0,05$ na forma decimal.
• Objetivo: Encontrar o valor do desconto (D_r).

Fórmulas Utilizadas

No desconto racional composto, o valor presente (P) é obtido dividindo o valor nominal pelo fator de acumulação de capital. O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor presente.

A fórmula do valor presente é:
P = \frac{N}{(1 + i)^n}

A fórmula do desconto racional é:
D_r = N - P

Passo a Passo do Cálculo

1. Calcular o fator de capitalização (1 + i)^n:
   (1 + 0,05)^6 = (1,05)^6
   (1,05)^6 \approx 1,3400956
2. Calcular o Valor Atual (P):
   P = \frac{50.000}{1,3400956}
   P \approx 37.310,77
   (Nota: Esta é a alternativa D, que representa quanto a empresa recebe hoje, mas não é o desconto).
3. Calcular o Desconto (D_r):
   Subtraímos o valor recebido hoje do valor total do título:
   D_r = 50.000 - 37.310,77
   D_r = 12.689,23

Conclusão

O valor do desconto racional composto a ser pago pela antecipação do pagamento é de R$ 12.689,23.

Portanto, a alternativa correta é a E.