Alternativa C - \pi
Introdução ao Problema
O objetivo é calcular a massa de uma esfera unitária definida pela desigualdade x^2 + y^2 + z^2 \leq 1. O problema fornece a fórmula para a massa como uma integral tripla da densidade volumétrica sobre o volume da esfera.
A densidade \delta(x, y, z) em qualquer ponto é dada pela distância desse ponto à origem. Matematicamente, essa distância é expressa por \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
Desenvolvimento do Cálculo
Para resolver essa integral, a melhor abordagem é utilizar coordenadas esféricas, pois o domínio (uma esfera) e a função de densidade possuem simetria radial.
As transformações e limites são:
- x = \rho \sin\phi \cos\theta
- y = \rho \sin\phi \sin\theta
- z = \rho \cos\phi
- Elemento de volume: dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta
- Limites de integração:
- Raio (\rho): de $0$ a $1$ (pois x^2 + y^2 + z^2 \leq 1)
- Ângulo polar (\phi): de $0$ a \pi
- Ângulo azimutal (\theta): de $0$ a $2\pi$
Substituindo na fórmula da massa:
M = \iiint_T \delta(x, y, z) \, dV
M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (\rho) \cdot (\rho^2 \sin\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta
Simplificando a expressão dentro da integral (\rho \cdot \rho^2 = \rho^3):
M = \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{\pi} \sin\phi \, d\phi \cdot \int_{0}^{1} \rho^3 \, d\rho
Análise dos Termos
Vamos calcular cada integral separadamente devido à natureza multiplicativa das variáveis independentes neste caso:
- Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = [\theta]_{0}^{2\pi} = 2\pi - Integral em \phi:
\int_{0}^{\pi} \sin\phi \, d\phi = [-\cos\phi]_{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 - Integral em \rho:
\int_{0}^{1} \rho^3 \, d\rho = \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}
Multiplicando os resultados parciais:
M = (2\pi) \cdot (2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)
M = 4\pi \cdot \frac{1}{4}
M = \pi
Conclusão
O valor calculado para a massa da esfera é \pi. Portanto, a alternativa correta é a C.