Alternativa C - $\pi$
Introdução ao Problema
O objetivo é calcular a massa de uma esfera unitária definida pela desigualdade $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$. O problema fornece a fórmula para a massa como uma integral tripla da densidade volumétrica sobre o volume da esfera.
A densidade $\delta(x, y, z)$ em qualquer ponto é dada pela distância desse ponto à origem. Matematicamente, essa distância é expressa por $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Desenvolvimento do Cálculo
Para resolver essa integral, a melhor abordagem é utilizar coordenadas esféricas, pois o domínio (uma esfera) e a função de densidade possuem simetria radial.
As transformações e limites são:
- $x = \rho \sin\phi \cos\theta$
- $y = \rho \sin\phi \sin\theta$
- $z = \rho \cos\phi$
- Elemento de volume: $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$
- Limites de integração:
- Raio ($\rho$): de $0$ a $1$ (pois $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$)
- Ângulo polar ($\phi$): de $0$ a $\pi$
- Ângulo azimutal ($\theta$): de $0$ a $2\pi$
Substituindo na fórmula da massa:
$$ M = \iiint_T \delta(x, y, z) \, dV $$
$$ M = \int{0}^{2\pi} \int{0}^{\pi} \int_{0}^{1} (\rho) \cdot (\rho^2 \sin\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$
Simplificando a expressão dentro da integral ($\rho \cdot \rho^2 = \rho^3$):
$$ M = \int{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int{0}^{\pi} \sin\phi \, d\phi \cdot \int_{0}^{1} \rho^3 \, d\rho $$
Análise dos Termos
Vamos calcular cada integral separadamente devido à natureza multiplicativa das variáveis independentes neste caso:
- Integral em $\theta$:
$$ \int{0}^{2\pi} d\theta = [\theta]{0}^{2\pi} = 2\pi $$ - Integral em $\phi$:
$$ \int{0}^{\pi} \sin\phi \, d\phi = [-\cos\phi]{0}^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 $$ - Integral em $\rho$:
$$ \int{0}^{1} \rho^3 \, d\rho = \left[\frac{\rho^4}{4}\right]{0}^{1} = \frac{1}{4} $$
Multiplicando os resultados parciais:
$$ M = (2\pi) \cdot (2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) $$
$$ M = 4\pi \cdot \frac{1}{4} $$
$$ M = \pi $$
Conclusão
O valor calculado para a massa da esfera é $\pi$. Portanto, a alternativa correta é a C.