Para calcular a circulação do campo vetorial J(x, y) = (x² - y², 2xy) ao longo da fronteira de um retângulo com vértices em (-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1) aplique o Teorema de Green. Esta técnica vincula a integral de linha ao redor da curva fechada C à integral dupla da derivada rotacional sobre a área delimitada D. Determine o valor dessa integral de linha e selecione a resposta correta:

Question

Para calcular a circulação do campo vetorial J(x, y) = (x² y², 2xy) ao longo da fronteira de um retângulo com vértices em ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1) aplique o Teorema de Green. Esta técnica vincula a integral de linha ao redor da curva fechada C à integral dupla da derivada rotacional sobre a área delimitada D. Determine o valor dessa integral de linha e selecione a resposta correta: A) 2 B) 16 C) 4 D) 0 E) 8

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa D O problema solicita o cálculo da circulação de um campo vetorial utilizando o Teorema de Green . Esta ferramenta conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Identificação dos Componentes Primeiro, identificamos as componentes do campo vetorial $J(x, y) = (P, Q)$ e os limites da região $D$: $P(x, y) = x^2 y^2$ $Q(x, y) = 2xy$ Região $D$: Retângulo definido por $x \in [ 1, 1]$ e $y \in [ 1, 1]$. O Teorema de Green é expresso pela fórmula: $$ \oint C (P \, dx + Q \, dy) = \iint D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA $$ Cálculo das Derivadas Parciais Para aplicar a fórmula, calculamos as derivadas parciais necessárias: Derivada de $Q$ em relação a $x$: $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y $$ Derivada de $P$ em relação a $y$: $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y^2) = 2y $$ Substituindo esses valores na expressão do integrando da integral dupla: $$ \frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y} = 2y ( 2y) = 4y $$ Resolução da Integral Dupla Agora, montamos a integral dupla sobre o retângulo dado: $$ I = \int { 1}^{1} \int { 1}^{1} 4y \, dy \, dx $$ Calculamos a integral interna primeiro (em relação a $y$): $$ \int { 1}^{1} 4y \, dy = \left[ 2y^2 \right] { 1}^{1} $$ $$ = 2(1)^2 2( 1)^2 $$ $$ = 2 2 = 0 $$ Como o resultado da integração interna é zero, a integral externa também será zero, independentemente da variável $x$: $$ \int { 1}^{1} 0 \, dx = 0 $$ Conclusão O valor da integral de linha é 0 . Isso ocorre porque a função $4y$ é ímpar em relação à variável $y$, e estamos integrando sobre um intervalo simétrico $[ 1, 1]$. As áreas positivas e negativas se cancelam perfeitamente. Portanto, a alternativa correta é a D .

Explicação passo a passo

Identificação dos Componentes

Cálculo das Derivadas Parciais

Resolução da Integral Dupla

Conclusão

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