Considere os dados da tabela abaixo. Faça um ajuste para uma função exponencial e determine o valor para x=2,5.

Alternativa D

Para resolver esta questão, é necessário ajustar os dados fornecidos a um modelo de função exponencial da forma y = a \cdot b^x. O termo "ajuste" indica que devemos utilizar um método estatístico, como o Mínimos Quadrados, aplicado aos dados linearizados.

Análise Matemática

1. Linearização do Modelo

Funções exponenciais são difíceis de ajustar diretamente com regressão linear simples. Para contornar isso, aplicamos o logaritmo natural (\ln) em ambos os lados da equação:

Isso transforma a relação em uma reta Y = A + B \cdot X, onde:

• Y = \ln(y)
• X = x
• A = \ln(a) (intercepto)
• B = \ln(b) (coeficiente angular)

2. Preparação dos Dados

Calculamos o logaritmo natural dos valores de y presentes na tabela original:

3. Cálculo da Regressão Linear

Utilizando as fórmulas de regressão linear para encontrar o coeficiente angular (B) e o intercepto (A):

• Coeficiente Angular (B): Representa a taxa de crescimento/decrescimento.
  B \approx -1,0115
  Isso implica que b = e^{-1,0115} \approx 0,3637.
• Intercepto (A): Representa o valor inicial ajustado.
  A \approx 2,107
  Isso implica que a = e^{2,107} \approx 8,22.

A equação ajustada fica:
\ln(y) = -1,0115 \cdot x + 2,107

4. Determinação para x = 2,5

Substituímos x = 2,5 na equação linearizada para encontrar \ln(y):

Para obter o valor de y, aplicamos a exponencial inversa (e^x):

Arredondando para três casas decimais, obtemos 0,656.

Conclusão

O valor calculado para x=2,5 corresponde exatamente à opção apresentada na alternativa D.

Alternativa D