Calcule a distância entre as retas reversas r₁: (1, 1, 1) + λ(0, 1, 2) e r₂: (2, -1, 3) + γ(2, -1, 3).

Alternativa D - d = d(r_1, r_2) = \frac{7\sqrt{5}}{15}

Introdução

Para calcular a distância entre duas retas reversas no espaço tridimensional, utilizamos a fórmula que envolve o produto misto. A distância é definida como a projeção ortogonal do vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra, sobre o vetor normal ao plano formado pelos vetores diretores das retas.

A fórmula geral é:
d = \frac{|(\vec{P_1 P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}

Onde:

• \vec{P_1 P_2} é o vetor que conecta um ponto de cada reta.
• \vec{v_1} \times \vec{v_2} é o produto vetorial dos vetores diretores (vetor normal comum às duas retas).

Desenvolvimento do Cálculo

1. Identificação dos dados
Do enunciado, extraímos os pontos e vetores diretores de cada reta:

• Reta r_1: Ponto P_1(1, 1, 1) e vetor \vec{v_1} = (0, 1, 2)
• Reta r_2: Ponto P_2(2, -1, 3) e vetor \vec{v_2} = (2, -1, 3)

2. Cálculo do vetor $\vec{P_1 P_2}$
Subtraímos as coordenadas de P_1 de P_2:
\vec{P_1 P_2} = (2-1, -1-1, 3-1) = (1, -2, 2)

3. Cálculo do produto vetorial $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$
Este vetor será perpendicular a ambas as retas.
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}

Calculando os determinantes parciais:

• x: $1(3) - 2(-1) = 3 + 2 = 5$
• y: -(0(3) - 2(2)) = -(0 - 4) = 4
• z: $0(-1) - 1(2) = -2$

Logo, \vec{n} = (5, 4, -2).

4. Cálculo do módulo de $\vec{n}$
||\vec{n}|| = \sqrt{5^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45}
Simplificando a raiz quadrada:
||\vec{n}|| = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}

5. Cálculo do produto escalar $(\vec{P_1 P_2}) \cdot \vec{n}$
Multiplicamos componente a componente:
(1)(5) + (-2)(4) + (2)(-2) = 5 - 8 - 4 = -7
O valor absoluto é |-7| = 7.

6. Cálculo final da distância
Aplicando na fórmula principal:
d = \frac{7}{3\sqrt{5}}

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{5}:
d = \frac{7\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{7\sqrt{5}}{15}

Conclusão

O resultado obtido coincide exatamente com a alternativa D.