Duas linhas de metrô passam pela mesma estação e seguem em direções diferentes, conforme ilustra o esquema a seguir: [Imagem de duas linhas de metrô se cruzando em uma estação E, com pontos P1, P2, P3 e P4 representando as entradas das vias paralelas de conexão. As distâncias entre a estação E e os pontos P2 e P3 são de, respectivamente, 200 metros e 150 metros, e a distância entre as entradas P1 e P4, traçada a partir da linha de metrô, é de 525 metros.] Os pontos representam a entrada de vias paralelas de conexão entre as linhas. As distâncias entre a estação E e os pontos P2 e P3 são de, respectivamente, 200 metros e 150 metros, e a distância entre as entradas P1 e P4, traçada a partir da linha de metrô, é de 525 metros. Qual a distância, em metros, entre a estação e a entrada P1?

Alternativa C

Este é um problema clássico de geometria plana que envolve a propriedade de triângulos semelhantes. O esquema apresentado mostra duas linhas de metrô (transversais) cortando duas vias paralelas de conexão (P_1P_2 e P_3P_4).

Quando duas retas paralelas são cortadas por duas secantes que se interceptam em um ponto E, formam-se dois triângulos cujos ângulos correspondentes são iguais. Portanto, o triângulo superior (\triangle P_1EP_2) é semelhante ao triângulo inferior (\triangle P_4EP_3).

Análise Detalhada

Para resolver a questão, utilizaremos a razão de proporcionalidade entre os lados dos triângulos semelhantes:

1. Identificação dos dados:

• Distância da estação E até P_2: EP_2 = 200 metros.
• Distância da estação E até P_3: EP_3 = 150 metros.
• Distância total entre P_1 e P_4 (linha vermelha): P_1P_4 = 525 metros.
• Como E está no meio desse segmento, temos que EP_1 + EP_4 = 525.

1. Montagem da proporção:
   Pela semelhança dos triângulos, a razão entre os lados correspondentes deve ser igual. O lado EP_1 corresponde ao lado EP_4, e o lado EP_2 corresponde ao lado EP_3.
   \frac{EP_1}{EP_4} = \frac{EP_2}{EP_3}
2. Cálculo:
   Vamos chamar a distância desconhecida EP_1 de x. Assim, a distância restante EP_4 será (525 - x). Substituindo na equação:
   \frac{x}{525 - x} = \frac{200}{150}

Simplificamos a fração direita dividindo por 50:
\frac{x}{525 - x} = \frac{4}{3}

Fazemos a multiplicação cruzada:
3 \cdot x = 4 \cdot (525 - x)
3x = 2100 - 4x

Passamos o termo -4x para o lado esquerdo:
3x + 4x = 2100
7x = 2100
x = \frac{2100}{7}
x = 300

Portanto, a distância entre a estação e a entrada P_1 é de 300 metros.

Alternativa C.