Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ têm o mesmo módulo, 10 m, e os ângulos $\theta1 = 30^{\circ}$ e $\theta2 = 105^{\circ}$. Determine o módulo do vetor resultante e o ângulo que ele faz com o semieixo x positivo.

Resumo da Resposta
O módulo do vetor resultante é aproximadamente 12,17 m, e o ângulo que ele forma com o semieixo x positivo é de 82,5°.

Introdução

Este problema envolve a soma de dois vetores no plano cartesiano. Para resolver, precisamos determinar as componentes cartesianas de cada vetor, somá-las para encontrar as componentes do vetor resultante e, finalmente, calcular o módulo e a direção desse vetor.

Dados fornecidos:

• Módulo de $\vec{a}$: $|\vec{a}| = 10$ m
• Módulo de $\vec{b}$: $|\vec{b}| = 10$ m
• Ângulo de $\vec{a}$: $\theta_1 = 30^\circ$
• Ângulo externo entre $\vec{a}$ e $\vec{b}$: $\theta_2 = 105^\circ$

Análise Detalhada

1. Determinação dos ângulos absolutos

Primeiro, precisamos saber a orientação de cada vetor em relação ao eixo x positivo.

• O vetor $\vec{a}$ já está dado como fazendo $30^\circ$ com o eixo x.
• O vetor $\vec{b}$ tem seu início na ponta de $\vec{a}$. O ângulo $\theta_2 = 105^\circ$ mede o desvio da extensão de $\vec{a}$ até $\vec{b}$.
• Portanto, o ângulo absoluto de $\vec{b}$ é a soma do ângulo de $\vec{a}$ com o desvio $\theta_2$:
  $$ \thetab = \theta1 + \theta_2 = 30^\circ + 105^\circ = 135^\circ $$

2. Cálculo das Componentes (Método das Projeções)

Vamos decompor cada vetor nas direções x e y usando seno e cosseno.

• Vetor $\vec{a}$:
• $a_x = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$
• $a_y = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
• Vetor $\vec{b}$:
• $b_x = 10 \cdot \cos(135^\circ) = 10 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5\sqrt{2}$
• $b_y = 10 \cdot \sin(135^\circ) = 10 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5\sqrt{2}$

3. Vetor Resultante $\vec{R}$

Somamos as componentes correspondentes:
$$ Rx = ax + b_x = 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2} = 5(\sqrt{3} - \sqrt{2}) $$
$$ Ry = ay + b_y = 5 + 5\sqrt{2} = 5(1 + \sqrt{2}) $$

4. Módulo e Direção do Resultante

• Módulo ($|\vec{R}|$):
  Utilizamos o Teorema de Pitágoras:

$$ |\vec{R}| = \sqrt{Rx^2 + Ry^2} $$
Substituindo os valores numéricos aproximados:
$$ R_x \approx 5(1,732 - 1,414) \approx 1,59 \text{ m} $$
$$ R_y \approx 5(1 + 1,414) \approx 12,07 \text{ m} $$

$$ |\vec{R}| \approx \sqrt{(1,59)^2 + (12,07)^2} \approx \sqrt{2,53 + 145,68} \approx \sqrt{148,21} \approx 12,17 \text{ m} $$

• Ângulo ($\theta_R$):

Como os módulos são iguais ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), o vetor resultante divide exatamente o ângulo formado pelos dois vetores.
$$ \thetaR = \frac{\thetaa + \theta_b}{2} = \frac{30^\circ + 135^\circ}{2} = \frac{165^\circ}{2} = 82,5^\circ $$
Ou calculando pela tangente: $\tan(\thetaR) = \frac{Ry}{R_x}$.

Conclusão

A soma vetorial resulta em um vetor com as seguintes características principais:

Assim, o vetor resultante aponta quase verticalmente para cima, ligeiramente inclinado para a esquerda em relação à vertical, devido ao peso maior da componente y.