A demanda mensal (q) referente a sacos de cimento produzidos pela empresa Construcia relaciona-se com o preço unitário de venda (p) através da função p=1.000-5q. O custo fixo de produção para esse produto é de R$ 3.000,00 com custo unitário igual a R$ 10,00. Com base em tais informações, é CORRETO afirmar que a função lucro (L) total para esse produto, em relação à quantidade produzida q, é dada por:

Alternativa C

Para encontrar a função lucro (L), precisamos entender a relação fundamental entre Receita (R), Custo (C) e Lucro. O lucro é obtido quando subtraímos o custo total da receita total.

Conceitos Fundamentais

Antes de calcular, definimos as três funções principais baseadas nos dados da questão:

• Receita Total (R): É o valor arrecadado pelas vendas. Calcula-se multiplicando o preço unitário (p) pela quantidade (q).
  R = p \cdot q
• Custo Total (C): É o gasto para produzir. Composto pelo Custo Fixo (que não varia com a produção) mais o Custo Variável Unitário vezes a quantidade.
  C = \text{Custo Fixo} + (\text{Custo Unitário} \cdot q)
• Lucro Total (L): É a diferença entre o que se ganha e o que se gasta.
  L = R - C

Desenvolvimento da Resolução

Vamos aplicar os valores fornecidos no enunciado:

1. Calcular a Receita (R):
   Sabemos que p = 1.000 - 5q. Substituindo na fórmula da receita:
   R = (1.000 - 5q) \cdot q
   R = 1.000q - 5q^2
2. Calcular o Custo (C):
   O custo fixo é R$ 3.000,00 e o custo unitário é R$ 10,00.
   C = 3.000 + 10q
3. Calcular o Lucro (L):
   Aplicamos a fórmula L = R - C. É crucial manter a atenção aos sinais, pois estamos subtraindo o custo inteiro:
   L = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)

Distribuímos o sinal negativo para dentro do parêntese do custo:
L = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q

1. Agrupar os termos semelhantes:

• Termos de q^2: apenas -5q^2
• Termos de q: $1.000q - 10q = 990q$
• Termos independentes: -3.000

Montando a função final:
L = -5q^2 + 990q - 3.000

Análise das Alternativas

Comparando nossa função encontrada com as opções apresentadas:

Portanto, a alternativa correta é a C.