A demanda mensal (q) referente a sacos de cimento produzidos pela empresa Construcia relaciona-se com o preço unitário de venda (p) através da função p=1.000-5q. O custo fixo de produção para esse produto é de R$ 3.000,00 com custo unitário igual a R$ 10,00. Com base em tais informações, é CORRETO afirmar que a função lucro (L) total para esse produto, em relação à quantidade produzida q, é dada por:

Alternativa C

Para encontrar a função lucro ($L$), precisamos entender a relação fundamental entre Receita ($R$), Custo ($C$) e Lucro. O lucro é obtido quando subtraímos o custo total da receita total.

Conceitos Fundamentais

Antes de calcular, definimos as três funções principais baseadas nos dados da questão:

• Receita Total ($R$): É o valor arrecadado pelas vendas. Calcula-se multiplicando o preço unitário ($p$) pela quantidade ($q$).
  $$R = p \cdot q$$
• Custo Total ($C$): É o gasto para produzir. Composto pelo Custo Fixo (que não varia com a produção) mais o Custo Variável Unitário vezes a quantidade.
  $$C = \text{Custo Fixo} + (\text{Custo Unitário} \cdot q)$$
• Lucro Total ($L$): É a diferença entre o que se ganha e o que se gasta.
  $$L = R - C$$

Desenvolvimento da Resolução

Vamos aplicar os valores fornecidos no enunciado:

1. Calcular a Receita ($R$):
   Sabemos que $p = 1.000 - 5q$. Substituindo na fórmula da receita:
   $$R = (1.000 - 5q) \cdot q$$
   $$R = 1.000q - 5q^2$$
2. Calcular o Custo ($C$):
   O custo fixo é R$ 3.000,00 e o custo unitário é R$ 10,00.
   $$C = 3.000 + 10q$$
3. Calcular o Lucro ($L$):
   Aplicamos a fórmula $L = R - C$. É crucial manter a atenção aos sinais, pois estamos subtraindo o custo inteiro:
   $$L = (1.000q - 5q^2) - (3.000 + 10q)$$

Distribuímos o sinal negativo para dentro do parêntese do custo:
$$L = 1.000q - 5q^2 - 3.000 - 10q$$

1. Agrupar os termos semelhantes:

• Termos de $q^2$: apenas $-5q^2$
• Termos de $q$: $1.000q - 10q = 990q$
• Termos independentes: $-3.000$

Montando a função final:
$$L = -5q^2 + 990q - 3.000$$

Análise das Alternativas

Comparando nossa função encontrada com as opções apresentadas:

Portanto, a alternativa correta é a C.