Alternativa C
A distância euclidiana é uma medida de similaridade ou dissimilaridade entre dois pontos em um espaço multidimensional. Ela corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre as coordenadas correspondentes dos vetores.
d(X_l, X_k) = \sqrt{\sum_{i=1}^{P} (x_{li} - x_{ki})^2}
Análise Detalhada
Para identificar a resposta correta, devemos decompor a fórmula matemática apresentada nas alternativas:
- Diferença entre componentes: Para cada dimensão i, calculamos a diferença entre o valor do elemento l e o elemento k (X_{li} - X_{ki}).
- Quadrado: Elevamos essa diferença ao quadrado para garantir que o resultado seja positivo ((\dots)^2).
- Soma: Somamos esses valores quadrados para todas as P dimensões do vetor (\sum_{i=1}^{P}).
- Raiz Quadrada: Tiramos a raiz quadrada do total para retornar à escala original da variável ((\dots)^{1/2}).
Comparação com as opções:
- Alternativa A: Incorreta. Não apresenta a soma das dimensões nem o quadrado correto dos termos individuais antes da raiz.
- Alternativa B: Embora tente incluir a notação matricial, ela contém uma ambiguidade dimensional comum. Se os vetores forem linhas (convenção padrão em estatística multivariada onde X é n \times p), o produto (X_l - X_k)' (X_l - X_k) resultaria em uma matriz, não em um escalar. A alternativa C é mais direta e inequívoca.
- Alternativa C: Correta. Apresenta exatamente a estrutura da soma dos quadrados das diferenças elevada a $1/2$ (raiz quadrada).
- Fórmula visual na questão: [ \sum_{i=1}^P (X_{li} - X_{ik})^2 ]^{1/2}.
- Alternativa D: Incorreta. O expoente final é $2$, o que define a distância euclidiana ao quadrado, não a distância simples.
- Alternativa E: Incorreta. A aplicação da raiz quadrada está mal posicionada na expressão algébrica apresentada.
Conclusão
A definição clássica de distância euclidiana exige a soma dos quadrados das diferenças componente a componente seguida da raiz quadrada dessa soma. A Alternativa C é a única que representa corretamente essa operação matemática de forma completa e coerente.