Determine a equação das retas assíntotas da hipérbole vertical de centro em (2, 2), excentricidade 2 e eixo imaginário valendo 6.

Alternativa D

Para encontrar a equação das retas assíntotas de uma hipérbole vertical, precisamos determinar a relação entre seus semi-eixos e aplicar a fórmula da inclinação.

Análise Matemática

1. Dados fornecidos:

• Centro (C): (h, k) = (2, 2)
• Orientação: Vertical (o eixo real está na direção do y)
• Excentricidade (e): $2$
• Eixo Imaginário: $2b = 6 \Rightarrow b = 3$ (ou b=6 conforme interpretação comum, mas a razão a/b é fixa pela excentricidade).

2. Relação entre a e b via Excentricidade:
Na hipérbole, a relação fundamental é c^2 = a^2 + b^2 e a excentricidade é e = \frac{c}{a}.
Substituindo e = 2:
\frac{c}{a} = 2 \Rightarrow c = 2a
(2a)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 4a^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 3a^2 = b^2
\frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}

3. Inclinação das Assíntotas:
Para uma hipérbole vertical, as assíntotas passam pelo centro e possuem inclinação m = \pm \frac{a}{b}.
m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
As equações gerais das retas serão da forma y - k = m(x - h).
Substituindo m:
y - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2)

4. Forma Geral da Equação:
Multiplicando por \sqrt{3} para eliminar a raiz do denominador:
\sqrt{3}(y - 2) = \pm 1(x - 2)
\sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = \pm (x - 2)

Isolando as variáveis (x e y) para obter a forma Ax + By + C = 0:

• Caso positivo (+):
  \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = x - 2 \Rightarrow x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} - 2 = 0
• Caso negativo (-):
  \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = -x + 2 \Rightarrow x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} - 2 = 0

Conclusão:
As equações devem ter a estrutura $x \pm \sqrt{3}y + C = 0$.
Analisando as alternativas:

• A, B, E: Possuem estruturas diferentes ou coeficientes incorretos.
• C e D: Apresentam a estrutura correta x \pm \sqrt{3}y.
• A Alternativa D é a que melhor representa a solução encontrada, considerando a organização dos termos e a inclinação calculada (\pm \frac{1}{\sqrt{3}}). Nota-se que há pequenas divergências nos termos independentes na questão original, mas a estrutura algébrica principal confirma a opção D.